Rekursive Folge

19.02.2014, 19:22

Newb

Rekursive Folge

Hey,
In der Klausur ist diese Aufgabe drangekommen.
Ich muss bestimmen ob diese Folge konvergiert und wenn ja, gegen welchen GW.
Nur haben wir das in der VO nie gemacht und per Google finde ich auch nichts verständliches.

an+1 = (a0^2+12)/7 a0=2

Laut der Prof. muss man diese Folge uA mit Induktion beweisen.

Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass eine Konvergente Folge monoton und beschränkt ist.

Ich gehe mal davon aus, dass sie durch 5 beschränkt ist und gar nicht wächst.

dann:
(an^2+12)/7 <5 -> an< sqrt(23)
Ist das schon ausreichend für die Beschränktheit?

Zur Monotonie fällt mir gar nichts ein und auch nicht wo ich Induktion einsetzen könnte.

Kann mir bitte jemand helfen?

19.02.2014, 20:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Newb
an+1 = (a0^2+12)/7

Wenn dies $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{a_0^2+12}{7} \end{eqnarray*}$ bedeuten soll, dann ist die Konvergenz kein Problem, da diese Folge ja konstant ist (zumindest ab Index 1), d.h.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{16}{7} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

19.02.2014, 20:08

Grautvornix

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RE: Rekursive Folge
Davon ausgehend, dass folgendes

Zitat:

an+1 = (a0^2+12)/7 a0=2

eigentlich so lauten sollte

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{a_n^2+12}7,~a_0=2 \end{eqnarray*}$

kann hier getrost die Standard-Vorgehensweise gewählt werden.

D.h.:

1. Zeige, durch eine nahezu triviale Induktion, dass die Folge durch 3 nach oben beschränkt ist.

2. Zeige, unter Nutzung von 1., dass die Folge monoton wächst.

Betrachte dazu $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=\frac 17(a_n-3)(a_n-4). \end{eqnarray*}$

3. Folgere aus Monotonie+Beschränktheit die Konvergenz.
Nutze dann die Rekursionsformel in Verbindung mit den Grenzwertsätzen, um den Grenzwert zu bestimmen (Beachte dabei 1.).

19.02.2014, 20:11

Grautvornix

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RE: Rekursive Folge
Ups, zu langsam.

Sorry HAL! Ich wollte hier nicht reinfunken...

19.02.2014, 20:36

HAL 9000

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Kein Problem für mich. Augenzwinkern

Sollte dies

Zitat:

Original von Grautvornix
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{a_n^2+12}7,~a_0=2 \end{eqnarray*}$

tatsächlich so gemeint sein, so kann man die Folge ebenfalls diesem Typ zuordnen.

20.02.2014, 20:37

Newb

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Hey,
Ja, entschuldigung dachte eigentlich, dass so ein kurzer Term eindeutig ist.

Das ich Beschränktheit und Monotonie zeigen muss ist mir klar, nur eben nicht wie.

$\begin{eqnarray*} \frac{an^2+12}{7} < 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -> an <\sqrt{23} \end{eqnarray*}$
IA: gilt für alle n>=1
IS: n->n+1, $\begin{eqnarray*} -> an+1 <\sqrt{23} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{an^2+12}{7} < sqrt(23) \end{eqnarray*}$
und aus IA $\begin{eqnarray*} \frac{an^2+12}{7} < 5 \end{eqnarray*}$

Ich hab keine Ahung wie ich bei sowas die Induktion mache.

Monotonie:
an+1-an>0 oder an+1>an

Aber wie bekomme ich hier jetzt das an heraus? Ich kanns immer nur durch an+1 audrücken, aber brauch es alleinstehend.

AUßER:

an<an+1
$\begin{eqnarray*} \sqrt{an+1*7-12} =an \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{1} *7-12} < \frac{an^2+12}{7} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{n}^2} < \frac{an^2+12}{7} \end{eqnarray*}$ was wiederrum an<an+1 ist.
Reicht das für die Monotonie?

Darf ich sowas Ableiten? Im Endeffekt müsste man dann ja nur zeigen, dass es für alle x >=0 ist.

21.02.2014, 07:55

Grautvornix

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Zitat:

Original von Newb
Hey,
Ja, entschuldigung dachte eigentlich, dass so ein kurzer Term eindeutig ist.

Diese Aussage verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von Newb
Das ich Beschränktheit und Monotonie zeigen muss ist mir klar, nur eben nicht wie.

Das 'Wie' habe ich doch in epischer Breite dargelegt.
Wenn du die Beiträge nicht liest, dann hat das Ganze hier irgendwie nicht so richtig viel Sinn - oder?

Zitat:

Original von Newb
$\begin{eqnarray*} \frac{an^2+12}{7} < 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -> an <\sqrt{23} \end{eqnarray*}$
IA: gilt für alle n>=1
...

Zero Points!

22.02.2014, 19:49

Newb

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Es war darauf bezogen, dass ihr mich gefragt habt wie die Folge korrekt aussieht.

Ja, hast du und ich habe sie gelesen.

Ob ich jetzt sage, dass die Folge durch drei oder fünf beschränkt ist, ist doch egal?

Okay, nochmal.

IA: $\begin{eqnarray*} \frac{an^2+12}{7} < 5 \end{eqnarray*}$ für alle n>=1
IS: n->n+1

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}^2+12}{7} < 5 \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})^2+12 )/7 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})*(\frac{an^2+12}{7})+12 )/7 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})*(\frac{an^2+12}{7})+12 ) < 35 \end{eqnarray*}$ ->
$\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})*(\frac{an^2+12}{7}) ) < 23 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} (an^2+12)*(an^2+12 ) < 245 \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} a_{n}^4 +24a_{n}^2 +144 < 245 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} a_{n}^4 +24a_{n}^2 < 101 \end{eqnarray*}$ ->
$\begin{eqnarray*} a_{n}^2 * (a_{n}^2 +24) <101 \end{eqnarray*}$

Hmm ich habe das Gefühl, dass das so nicht passt.
Geht villeicht:

$\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})*(\frac{an^2+12}{7}) ) < 23 \end{eqnarray*}$ nach IA ist die Folge kleiner fünf, also:
$\begin{eqnarray*} ((\frac{an^2+12}{7})*(\frac{an^2+12}{7}) ) < 23 *5 \end{eqnarray*}$

22.02.2014, 21:21

HAL 9000

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falsch gedacht

Zitat:

Original von Newb
Ob ich jetzt sage, dass die Folge durch drei oder fünf beschränkt ist, ist doch egal?

Letztendlich ist es nicht egal, denn du willst ja nicht nur beweisen, dass die Folge konvergiert, sondern auch noch den Grenzwert ermitteln. Und da fällt hier schon auf, dass nicht nur 3, sondern auch 4 Fixpunkt der Transformation $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist, die gemäß $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=T(a_n) \end{eqnarray*}$ die Rekursion definiert.

D.h., mit oberer Schranke 3 weiß man, dass der Grenzwert nur 3 sein kann.

Mit oberer Schranke 5 muss man Zusatzüberlegungen anstellen, um die mögliche 4 auszuschließen.

23.02.2014, 22:52

Newb

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Ahh okay, ich dachte es wäre egal, da ich ja nur beschränktheit zeigen muss für die Konvergenz. An den GW hatte ich jetzt gar nicht gedacht...

Naja, wie siehts aus?
Passt meine Berechnung (bis auf die fünf)?

Ich habe ansonsten keinen Ansatz was ich machen soll.

24.02.2014, 13:19

HAL 9000

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Der ganze Beweis ist schon von der Anlage her vergurkt, der unüberschaubare Formelwust gibt dann den Rest. Darüber hinaus scheinst du auch Hinweise gar nicht aufzunehmen: Induktionsanfang "... gilt für alle n>=1" ist vollkommener Unsinn - wenn du es dort schon für alle n>=1 nachweist, was soll dann noch der Induktionsbeweis???

Also, hier das "Strukturgerüst" eines angemessenen Induktionsbeweis für die Beschränktheit.

Zitat:

IA (n=0): $\begin{eqnarray*} 0 < a_0 < 3 \end{eqnarray*}$ ist erfüllt.

IS (n->n+1): Unter Nutzung der Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} 0 < a_n < 3 \end{eqnarray*}$ sowie der Iterationsgleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{a_n^2+12}{7} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<3 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen.

Natürlich ist der IS in dieser Form nur Gerüst, der eigentliche Nachweis ist dort noch zu führen.

Und von mir aus auch mit 5 statt 3, obwohl man da massiv Information verschenkt (s.o.).

EDIT: Jetzt glaub ich den Unsinn schon selber - mit 5 klappt der Induktionsschluss ja gar nicht. Finger1

26.02.2014, 21:31

Newb

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Okay, ich habe mich gestern mit einem Kollegen zusammengesetzt und mal etwas rumgerechnet.

IA: 0< an <3 okay
IV: oben
IS n->n+1
0<an<3 /^2
0<an^2<9 /+12
12<an^2+12<21 /:7
12/7 < (an^2+12)/7 < 3

Naja, dass ist dann wohl mal innerhalb des Invervalls von [0,3] und der Term entspricht a_{n+1}. Beschränkt.

an< an+1
sqrt(a_{n+1} * 7 -12) < an+1 //an+1 einsetzen
an < an+1
Monotonie

Für den Grenzwert haben wir angenommen, dass ja an+1 und an gegen a konvergieren, irgendwie logisch...
a=(a^2+12)/7
....a1=3 , a2=4
Da Beschränktheit durch drei gezeigt wurde, ist der GW wohl drei.

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