Rotation im Tangentialraum einer 2-dim riem. Mfk.

20.02.2014, 13:29

Grüner

Rotation im Tangentialraum einer 2-dim riem. Mfk.

Hallo!

In einem Beispiel, welches ich gern verstehen würde, ist folgendes gegeben:

Eine reelle und orientierbare Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Dimension $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ versehen mit einer riemannschen Metrix $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .
Zu dieser Metrik soll man den Endomorphismus $\begin{eqnarray*} J\in\mathrm{End}(TM) \end{eqnarray*}$ betrachten, welcher der Rotation um $\begin{eqnarray*} +\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ entspricht.

Ich weiß nun nicht genau wie dieser aussehen soll. Eigentlich wäre die Rotation lokal ja bestimmt durch:
1. $\begin{eqnarray*} J(\partial_x)=\partial_y \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} J(\partial_y)=-\partial_x \end{eqnarray*}$

Oder soll man mittels $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zu gegebenem $\begin{eqnarray*} X\in T_p M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} J(X) \end{eqnarray*}$ finden, sodass:
1. $\begin{eqnarray*} g(J(X),X)=0 \end{eqnarray*}$ (senkrecht zueinander)
2. $\begin{eqnarray*} g(J(X),J(X))=g(X,X) \end{eqnarray*}$ (selbe Norm)
3. $\begin{eqnarray*} X\to J(X) \end{eqnarray*}$ stetig

Oder kann ich auch beides verbinden und lokale Koordinaten wählen, sodass
$\begin{eqnarray*} g=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
und dann $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ wie oben wählen?

Desweiteren fällt der Begriff " $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ -hermitesch", was bedeutet das hier explizit für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?

Das Beispiel ist aus diesem Buch: (S. 398)
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Vielen Dank schonmal!

21.02.2014, 13:05

Ehos

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Den 2-dimensionalen riemannschen Raum kann man als gekrümmte Fläche (z.B. die Erdoberfläche) mit den Koordinaten lauten $\begin{eqnarray*} (\theta, \phi) \end{eqnarray*}$ (=Längen- und Breitengrad) interpretieren. Darauf ist ein tangentiales Vektorfeld $\begin{eqnarray*} X=[X^1(\theta,\phi),X^2(\theta,\phi)] \end{eqnarray*}$ gegeben, das man als "Wind" auf der Erdoberfläche interpretieren kann. Gesucht ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \tilde X^1\\ \tilde X^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {J^1}_1 & {J^1}_2 \\ {J^2}_1 & {J^2}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ derart, dass das Bild $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ gegenüber dem Original $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ um 90° gedreht ist (unter Berücksichtigung der Metrik g). Wie du richtig schreibst, muss also gelten:

1) Orginal und Bild stehen senkrecht aufeinander

$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde X^1\\ \tilde X^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {J^1}_1 & {J^1}_2 \\ {J^2}_1 & {J^2}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus dieser Bedingung folgt, dass die Matrix gJ schiefsymmetrisch sein muss, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {J^1}_1 & {J^1}_2 \\ {J^2}_1 & {J^2}_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) Die Beträge bleiben erhalten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tilde X^1\\ \tilde X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde X^1\\ \tilde X^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder ausführlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {J^1}_1 & {J^1}_2 \\ {J^2}_1 & {J^2}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {J^1}_1 & {J^1}_2 \\ {J^2}_1 & {J^2}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X^1\\ X^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus dieser Bedingung folgt die Matrixgleichung $\begin{eqnarray*} g=J^TgJ \end{eqnarray*}$ .

22.02.2014, 14:27

Grüner

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Ok, also war dann mein zweiter Ansatz doch richtig. Ich hatte auch schon etwas herumprobiert und bin lokal für $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} J=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\left(\begin{matrix}-g_{12} & -g_{22}\\g_{11} & g_{12}\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

dann passt alles, auch $\begin{eqnarray*} J^2=-\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

22.02.2014, 21:05

Che Netzer

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RE: Rotation im Tangentialraum einer 2-dim riem. Mfk.

Zitat:

Original von Grüner
Ich weiß nun nicht genau wie dieser aussehen soll. Eigentlich wäre die Rotation lokal ja bestimmt durch:
1. $\begin{eqnarray*} J(\partial_x)=\partial_y \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} J(\partial_y)=-\partial_x \end{eqnarray*}$

Hier solltest du $\begin{eqnarray*} \partial_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_y \end{eqnarray*}$ durch eine beliebige positiv orientierte Orthonormalbasis ersetzen.

Zitat:

Original von Grüner
$\begin{eqnarray*} J=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\left(\begin{matrix}-g_{12} & -g_{22}\\g_{11} & g_{12}\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

Ja, und in orthogonalen Koordinaten kommst du dann tatsächlich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

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