Differentialgleichung lösen

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20.02.2014, 16:29	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen? Die folgende Differentialgleichung beschreibt die Geschwindigkeit mit der die Konzentration [A] des Eduktes der Reaktion A + A -> A2 abnimmt: Bestimmen Sie durch Lösen dieser Differentialgleichung die Funktion [A]. Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Konzentration [A] = [A]0. Berechnen Sie mit diesem Anfangswert die spezielle Lösung. $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{dt} = -2k [A]^2 \end{eqnarray}$ Ich hab zuerst Trennung der Variablen $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{[A]^2} = -2k * dt \end{eqnarray}$ Dann Integriert $\begin{eqnarray} Integral \frac{1}{[A]^2} d[A] = -2 Integral k * dt \end{eqnarray*}$ -> ln [A^2] = -2kt + C iwas stimmt da nicht laut Lösung...kann mir jemand helfen ?? danke
20.02.2014, 16:32	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{[A]^2} \, d[A] \neq \ln([A]^2) \end{eqnarray}$
20.02.2014, 16:41	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
falsche Stammfunkton? hmm verstehe ich nicht 1/x sind ja auch ln(x) ;S oder hats mitm Quadrat zu tun ?
20.02.2014, 16:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen dem Quadrat hat das hier nichts mit dem Logarithmus zu tun. Es ist ja $\begin{eqnarray} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx =\ln\|f(x)\|. \end{eqnarray}$ Im Zähler muss also die Ableitung des Nenners stehen. Das ist bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ so, aber eben nicht bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{[A]^2}. \end{eqnarray}$
20.02.2014, 17:08	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich dann einfach die 1/[A]^2 umschreiben zu [A]^-2 und davon dann die Stammfunktion
20.02.2014, 17:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du.
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20.02.2014, 17:10	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
dann bekomme ich als Stammfunktion 1/[A]
20.02.2014, 17:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz.
20.02.2014, 17:17	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
mitm minus ?
20.02.2014, 17:19	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
20.02.2014, 17:50	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hab ich - 1/[A] = -2kt ich weiß nicht weiter
20.02.2014, 17:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt noch die Integrationkonstante. Du willst ja die Lösung der DGL, also [A] bestimmen. D.h. du musst jetzt nur noch nach [A] umstellen.
20.02.2014, 18:02	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja voll vergessen - 1/[A] = -2kt+ C nach A umstellen? -[A] = 1 / -2kt+ C
20.02.2014, 18:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlen Klammern. Wie geht's dann weiter?
20.02.2014, 18:32	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich nicht jetzt * -1 das wäre dann die allg. Lösung, oder?
20.02.2014, 18:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und dann kannst du c mithilfe des Anfangswertes bestimmen.
20.02.2014, 18:45	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das mitm Anfangswert nicht. Also normalerweise hatten wir das so, dass AWP y(0)= 1 oder so, hier steht [A] = [A]0 ich weiß nicht wie ich damit wie wo was einsetzen soll :S
20.02.2014, 18:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray} [A] \end{eqnarray}$ bestimmt. In der Aufgabe steht "Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t = 0 \end{eqnarray}$ sei die Konzentration $\begin{eqnarray} [A] = [A]_0. \end{eqnarray}$ " D.h. es ist $\begin{eqnarray} [A](0)=[A]_0. \end{eqnarray}$ Und das kannst du jetzt einsetzen.
20.02.2014, 19:11	pollo	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ichs richtig verstanden habe setze ich für t 0 ein und für [A]0, [A]? und dann sol ich nach C auflösen..
20.02.2014, 19:18	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Andersrum: Für [A] setzt du [A]0 ein. Und ja, dann nach c auflösen.

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