e-Funktion, Tangente und Normale

20.02.2014, 20:49

SaVa

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e-Funktion, Tangente und Normale

Meine Frage:
Hallo liebe Helfer,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
Man betrachtet die Funktion der Schar f1(x)=(x+1)*e^(-x)
Aufg: Weise nach: Für einen Punkt P(u/f1(u)) des Graphe f1 ist die Ursprungsgerade OP genau dann orthogonal zur Tangente in P an den Graphen von f1, wenn e^(2u) -u-1= 0 gilt.
Später soll man auch noch beweisen dass es genau 2 Punkte gibt die diese Bedingung erfüllen.

Meine Ideen:
Ich finde das total unklar ausgedrückt... Also ich verstehe das jetzt so dass dieses e^(2u)-u-1=0 sozusagen die x-Koordinate des Punktes ist, oder?
Ich habe jetzt erstmal die Tangentensteigung berechnet, da habe ich f1(x)'= e^(-x)*(-x)
Und die Orthogonale dazu muss ja als Steigung den negativen Kehrwert haben... So viel ist mir klar, aber da hört es auf. Ich habe keine Ahnung wie man weiter rechnen kann. unglücklich

unglücklich

Danke schonmal für Hilfe!

20.02.2014, 21:41

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Hallo,

die Aufgabenstellung ist in der Tat ziemlich kompliziert, hat 'ne ganze Weile gedauert, bis ich da durchgestiegen bin.

Die gute Nachricht zuerst: Deine Ableitung stimmt.

Jetzt die schlechte Nachricht: Deine Vermutung, die x-Koordinate des Punktes P sei die Lösung der Gleichung "e^(2u)-u-1=0", ist falsch.

P hat die Koordinaten (u|f(u)). Es ist also

$\begin{eqnarray*} P=\left( u \quad | \quad (u+1) \cdot e^{-u} \right) \end{eqnarray*}$

In diesem Punkt hat dann die Tangente die Steigung

$\begin{eqnarray*} f'(u)=-u \cdot e^{-u} \end{eqnarray*}$

Welche Steigung hat dann die Normale im Punkt P?

21.02.2014, 16:35

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Also die Normale müsste dann doch die Steigung 1/(-u*e^(-u)) haben...
Aber was soll ich dann machen? unglücklich

unglücklich

21.02.2014, 20:45

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
bis auf einen kleinen Vorzeichenfehler ist Deine Steigung richtig.

Du kennst nun die Steigung

$\begin{eqnarray*} m = \frac{1}{u \cdot e^{-u} } = \frac{e^{u} }{u} \end{eqnarray*}$

Deiner Normalen. Außerdem weißt Du, daß sie durch den Punkt P geht, dessen Koordinaten Du auch kennst.

Bestimme jetzt die Geradengleichung n(x) der Normalen, indem Du entweder die Punktsteigungsform einer Geraden benutzt, oder indem Du mit der Information n(u)=f_1(u) arbeitest. Beide Methoden funktionieren.

Entscheide Dich einfach Deine Lieblingsmethode.

22.02.2014, 09:16

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Also ich habe jetzt eingesetzt:
(u+1)*e^-u= (e^u)/u +b
dann habe ich für b= (u+1)*e^-u - e^u
dementsprechend
n(x)= e^u /u x+ (u+1)*e^-u -e^u
Und an dieser Stelle hakt es wieder verwirrt

verwirrt

22.02.2014, 09:58

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Ja, den Haken können wir jetzt aber schnell lösen. Die Gleichung der Normalen ist ist richtig. Ich schreib sie nur mal eben um, damit der negative Exponent verschwindet:

$\begin{eqnarray*} n(x)=\frac{e^{u} }{u} \cdot x + \frac{u+1}{e^{u} } - e^{u} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Normale soll ja durch den Koordinatenursprung gehen. Also:

$\begin{eqnarray*} n(0)=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{u+1}{e^{u} }-e^{u}=0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere diese Gleichung einmal mit "e^u".

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22.02.2014, 10:29

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Aaah jetzt hab ich's!!! Freude

Freude

Danke!!

Gott

Was mir noch so unklar war (wegen dieser blöden Formulierung in der Aufgabenstellung :boese smile

smile

, war dass sie im Grunde eine Gerade suchen, die durch den Ursprung geht, also dieser letzte Schritt...
Aber der 2. Teil der Aufgabe ist mir leider auch immer noch nicht ganz klar... Wie soll ich beweisen dass es genau 2 Punkte gibt, die diese Orthogonalitätsbedingung erfüllen?! Als Hinweis ist noch angegeben, dass jede streng monotone Funktion höchstens eine Nullstelle besitzt... Hilft mir aber leider auch nicht um auf eine Lösung zu kommen...

22.02.2014, 11:02

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Umpf, der zweite Teil, ......, könnte schwierig werden.

Moment, ich hab da eine Zeichnung gemacht. Mal schaun, ob wir da etwas herauslesen können. Einen Augenblick bitte, ich lade das Bild hoch.

22.02.2014, 11:23

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Da ist das Bild (wenn Du es anklickst, kannst Du mehr erkennen).

Für den zweiten Teil der Aufgabe brauchen wir die gepünkelte Kurve (h). Es ist

$\begin{eqnarray*} h(x)= e^{2x} - x -1 \end{eqnarray*}$

Bei unserem u handelt es sich um die Nullstellen dieser Funktion. Das Minimum von h ist

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2} \ln(\frac{1}{2} ) \quad | \quad -\frac{1}{2}- \frac{1}{2} \ln(\frac{1}{2} ) \right) = \left( -0,34..|-0.15.. \right) \end{eqnarray*}$

(bitte einmal nachrechnen, ist ganz leicht.)
Links vom Tiefpunkt ist h streng monoton fallend, rechts davon streng monoton steigend, das zeigen wir anschließend mit der Ableitung von h.

22.02.2014, 12:40

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Ja, das war auch noch ein Teil der Aufgabe, den ich (hoffentlich) einigermaßen hinbekommen habe.
Also für das streng monoton steigende/fallende hab ich h(x) abgeleitet und raus:
h(x)'= 2e^(2x) -1
Dann habe ich lim x<-0,35 und lim x>-0,35 geprüft. Bei dem ersten hatte ich dann -Unendlich und bei dem 2. +Unendlich... So habe ich das jetzt mit dem monoton steigend/fallend begründet.. Ist das richtig? verwirrt

verwirrt

Der nächste Aufgabenteil war den Vorzeichenwechsel im Intervall -Unendlich,-lnWurzel2 zu beweisen.
Da habe ich dann die erste Ableitung gleich 0 gesetzt und als x-Kood. -0,35 raus. Den Tiefpunkt bei (-0,35/-0,15) habe ich also auch raus...

22.02.2014, 13:41

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Nee, die Monotonie kannst Du so nicht bergünden.

Stattdessen kannst Du zeigen, daß h'(x)<0 ist für alle x<-0,35. Etwa so:

Sei $\begin{eqnarray*} x < \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{1}{2} \quad | \cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2x < \ln \frac{1}{2} \quad | e \uparrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{2x} < \frac{1}{2} \quad | ..... \end{eqnarray*}$

.......

und so formst Du solange an der Ungleichung rum, bis da schließlich steht:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2 e^{2x} - 1 < 0 \end{eqnarray*}$

Entsprechend behandelst Du anschließend noch den Fall x>-0,35.

22.02.2014, 14:12

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Okay, das habe ich so weit verstanden und mit der anderen Seite gemacht.
Aber wie kommt man eig auf die "Umformung" von -lnWurzel2 auf 0,5ln0,5 ?
Und was ich irgendwie auch komisch finde ist, dass der Vorzeichenwechsel ja im Intervall bis -0,35 sein soll, aber eig ist er ja genau da, wenn der Tiefpunkt da liegt...

22.02.2014, 21:06

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale

Zitat:

Original von SaVa
Aber wie kommt man eig auf die "Umformung" von -lnWurzel2 auf 0,5ln0,5 ?

Von -ln(Wurzel 2) kommt man da auch nicht drauf, wenn schon, dann von -ln (Wurzel 0,5). Das ginge dann so:

$\begin{eqnarray*} - \ln \sqrt{\frac{1}{2}} = - \ln \left( \frac{1}{2} \right) ^\frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot \left( \ln 1 - \ln 2 \right) = - \frac{1}{2} \cdot \left( 0 - \ln 2 \right) = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SaVa
Und was ich irgendwie auch komisch finde ist, dass der Vorzeichenwechsel ja im Intervall bis -0,35 sein soll, aber eig ist er ja genau da, wenn der Tiefpunkt da liegt...

Na, einen Vorzeichenwechsel gibt es im Intervall (-unendlich, -0.35), und den zweiten im Intervall (-0.35, +unendlich). Schau Dir den gepunkteten Graphen in der Zeichnung an.

22.02.2014, 21:22

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
MIST, da hab ich aber 'n Quatsch gelabert. Finger1

Finger1

Geht ja doch, und zwar so:

$\begin{eqnarray*} - \ln \sqrt{2} = - \ln 2^\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln 2 = - \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{1}{2} \right) ^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

23.02.2014, 10:11

SaVa

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Hm okay...
Und wie soll man nun beweisen dass es genau 2 Punkte gibt die die Bedingung erfüllen? Eigentlich müsste der 2. Punkt doch dann der HP von f1 sein... Wenn ich mir die Zeichnung so anschaue. Aber wie soll ich das jetzt beweisen, dass es nur diese beiden Punkte gibt? unglücklich

unglücklich

23.02.2014, 10:48

Count von Count

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RE: e-Funktion, Tangente und Normale
Guten Morgen,

Du kannst den Beweis in zwei Teile zerlegen.
Für das Intervall (-unendlich, -0,35) gilt ja: h(-0,35)=-0.15<0.
Jetzt greifst Du Dir ein x, für das h(x)>0 ist, z.B. x=-1, denn h(-1)=0,14>0.
Wegen der Stetigkeit von h gibt es also zwischen -1 und -0,35 mindestens eine Nullstelle. Und wegen der strengen Monotonie gibt es in diesem Intervall gleichzeitig höchstens eine Nullstelle, weil

Zitat:

Original von SaVa
Als Hinweis ist noch angegeben, dass jede streng monotone Funktion höchstens eine Nullstelle besitzt...

Und aus alledem folgt: Es gibt zwischen -1 und -0,35 genau eine Nullstelle. (Links von -1 gibt es keine weiteren Nullstellen wegen der Monotonie.)

Im zweiten Teil das Ganze nochmal für (-0,35, +unendlich).

ps: Der zweite Punkt ist tatsächlich der Hochpunkt von f1 (0|1), denn es ist h(0)=0.

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