Basis Bild von A / Gauß / Dimension |
| 20.02.2014, 23:44 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Basis Bild von A / Gauß / Dimension mich verwirrt folgende Tatsache: Ich habe eine beliebe Matrix gegeben. Die Spalten dieser Matrix bzw. die lin. Hülle davon = Bild von (A) Ich transponiere die geg. Matrix und wende den Gauß an. Das Ergbn hieraus ist (alle lin. unabhängige Vektoren) = Basis von Bild (A) , wobei ich die Vektorenergebnisse (ohne den Nullvektoren) erneut transponiere ( aus den Zeilen in Spalten) =Fertig /Basis Bild A Jetzt habe ich in manchen Übungsblättern gesehen, dass Spalten einer bereits gegebenen Matrix einfach herausgezogen worden sind. Zuvor wurde die dimension des Bildraumes bestimmt. Zb: 2 (mithilfe der Dimensionsformel oder rg =dimBild(A) ) Dann wurden einfach 2 Spaltenvektoren aus der Matrix (A) genommen und stellen die Basis dar. Ist das erlaubt? Muss ich dann gar nicht mehr den Schritt des transponierens gehen bzw des Gaußs wenn ich die dimension des Bildes kenne? Würde mich sehr über eine Antwort freuen! 
LG PAT. |
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| 21.02.2014, 08:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Basis Bild von A / Gauß / Dimension Nun ja, das Vorgehen müßte man genau sehen. Möglicherweise wurde folgende Überlegung praktiziert: wenn man weiß, welche Dimension der Bildraum hat, dann schaut man sich die Spalten der Matrix scharf an und sucht sich entsprechend viele linear unabhängige Spalten raus. Bei der Dimension 2 ist das ja noch übersichtlich. 
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| 21.02.2014, 11:53 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Basis Bild von A / Gauß / Dimension Wenn die Matrix aus zwei Zeilen besteht, die linear unabhängig sind, dann ist der Bildraum 2-dimensional. Dann sind aber auch zwei linear unabhängige Spalten vorhanden. (Wenn es nur eine gäbe, dann wären auch die Zeilen nicht linear unabhängig.) Im 2-dimensionalen Fall ist es sehr einfach, bei zwei Spalten festzustellen, ob sie linear unabhängig sind, d.h. ob nicht die eine ein Vielfaches der anderen ist. Insofern kann man schnell zwei solche Spalten auswählen. Diese bilden dann eine Basis des Bildraums, da für Basisvektoren nur notwendig ist, dass sie linear unabhängig sind und ihre Zahl gleich der Dimension des betrachteten Raumes ist. Wohlgemerkt, eine Basis. Im gibt es unendlich viele Basen. |
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| 21.02.2014, 17:51 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jou. Die Antwort ist echt simpel. Da es unendlich viele Basen gibt und man weiß, dass die dimension 2 ist schaut man sich speziell zwei Spaltenvektoren an (ideal wenn viele Nullen vorhanden) und schaut ob diese lin. unabhängig. So kriegt man auch eine Basis. Dank euch! 
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