Tangentialebene und Höhen(Niveau)linien

21.02.2014, 00:42

Gastkonto

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Tangentialebene und Höhen(Niveau)linien

Hi,
habe wieder mal Probleme mit den Höhen(Niveau)linien unglücklich

unglücklich

Aufgabe:
Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene der Funktion

$\begin{eqnarray*} z=f(x, y)= (x-3)^2+(y+2)^2+4 \end{eqnarray*}$

im Punkt (x0, y0) = (0, 0) an.
Skizzieren Sie außerdem in der xy-Ebene die Höhen(Niveau)linien zu h = 3, 4, 20
(d.h. stellen Sie jeweils die Menge der (x, y) mit f(x, y) = h dar).

Meine Gleichung der Tangentialebene lautet:

$\begin{eqnarray*} T(x:y)=-1-6x+4y \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Teil der Aufgabe brauche ich Hilfe.

21.02.2014, 01:35

10001000Nick1

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Die Tangentialebene stimmt nicht.
Im Punkt (0, 0) sollte die Tangentialebene ja mit der Funktion f übereinstimmen. Das ist hier aber nicht der Fall: $\begin{eqnarray*} f(0,0)=17\neq -1=T(0,0). \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 01:47

Gastkonto

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Warum 17 ?

21.02.2014, 01:49

10001000Nick1

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Warum denn nicht?

21.02.2014, 01:50

Gastkonto

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Schon gut^^ Klammer vergessen Hammer

Hammer

21.02.2014, 01:51

10001000Nick1

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Wenn du sagst "Klammer vergessen", hört sich das für mich fast so an, als hättest du das in den Taschenrechner eingegeben. Hast du das? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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21.02.2014, 01:56

Gastkonto

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Jo da hast du recht ^^
Im Kopf wärs wohl nicht passiert.

$\begin{eqnarray*} T(x:y)=17-6x+4y \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 02:04

10001000Nick1

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Bei solchen einfachen Aufgaben darfst du ruhig selbst (im Kopf) rechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erstens geht es schneller als das Eintippen in den Taschenrechner, zweitens ist es weniger fehleranfällig (wie du ja gerade gesehen hast).

Bei den Niveaulinien musst du jetzt die Mengen $\begin{eqnarray*} N_h=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=h\right\} \end{eqnarray*}$ bestimmen (also insgesamt drei Mengen, für h=3;4;20).

Fangen wir mal mit h=3 an. Dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} (x-3)^2+(y+2)^2+4=3. \end{eqnarray*}$ Jetzt versuche das so umzuformen, dass du eine Koordinate in Abhängigkeit der anderen darstellen kannst.

21.02.2014, 02:26

Gastkonto

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Bin mir nicht sicher ob du das so gemeint hast.

$\begin{eqnarray*} (x-3)^2+(y+2)^2+4=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-6x+14+y^2+4y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(x-6)+y*(y+4)+14=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-6)+(y+4)+14=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-6=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y+4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=-4 \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 02:33

10001000Nick1

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Du musst die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-3)^2+(y+2)^2+4=3 \end{eqnarray*}$ nach x oder y auflösen. Das, was du da gemacht hast, hat damit nicht viel zu tun.

Wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} x_1=0, y_1=0 \end{eqnarray*}$ ? Es gibt einen Satz, der besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist. Es sieht so aus, als wenn du hier auch so etwas ähnliches machen wolltest. Aber auf der linken Seite steht doch eine Summe. Da geht das nicht.

Also: Die Gleichung nach x oder y auflösen. Dazu aber nicht die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auflösen. Dann würdest du nicht zum Ziel kommen.
Wenn du nach y umstellen willst, dann sorgst du erstmal dafür, dass $\begin{eqnarray*} (y+2)^2 \end{eqnarray*}$ allein auf einer Seite steht; dann das Quadrat beseitigen.

21.02.2014, 02:42

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} y=\frac{\sqrt{-1-(x-3)^2} }{2} \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 02:45

Gastkonto

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Sorry ich meine:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{-1-(x-3)^2}-2 \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 02:46

10001000Nick1

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Wenn du das Quadrat beseitigst, erhältst du zwei Lösungen (nagativ und positiv). Und warum dividierst du durch 2? Du musst auf beiden Seiten 2 subtrahieren. Richtig ist also $\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{-1-(x-3)^2}-2. \end{eqnarray*}$
OK, du hast es ja noch selbst korrigiert.

Jetzt guck dir mal den Radikanden (also das, was unter der Wurzel steht) an. Fällt dir etwas auf?

21.02.2014, 02:52

Gastkonto

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Egal was man für x einsetzt es steht immer ein Minus in der Wurzel.

21.02.2014, 02:56

10001000Nick1

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Genau. D.h. für h=3 gibt es kein (x, y) mit f(x, y)=h=3.
Das hätte man auch schon direkt an der Funktionsgleichung sehen können. Es sind ja alle Summanden größer/gleich 0, und der letzte Summand ist 4. D.h. alle Funktionswerte sind größer/gleich 4.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} \{(x, y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=3\}=\emptyset. \end{eqnarray*}$

Und jetzt machst du das Ganze nochmal für h=4.

21.02.2014, 03:08

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} (y+2)^2=-(x-3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y+2)^2=(-1)*(x-3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y+2=\sqrt{ (-1)} *(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{ (-1)} *(x-3)-2 \end{eqnarray*}$

Da kommt auch leere Menge bei raus.

21.02.2014, 03:12

10001000Nick1

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Ganz so einfach ist es hier nicht. Auf der rechten Seite steht ja "-1 * nicht-negative Zahl" (denn $\begin{eqnarray*} (x-3)^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht-negativ). Ist das wirklich immer negativ? Oder gibt es vielleicht eine Möglichkeit, damit die rechte Seite größer/gleich 0 wird?

21.02.2014, 03:19

Gastkonto

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Für x=3 löst sich die Wurzel auf.
y=-2

21.02.2014, 03:22

10001000Nick1

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Richtig. Was ist jetzt also die Menge $\begin{eqnarray*} \{(x, y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=4\} \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2014, 03:29

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \{(x, y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=4\}=3 \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 03:31

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \{(x, y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=4\}=(3;2) \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 03:33

10001000Nick1

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Der erste Versuch war völlig daneben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der zweite Versuch sieht schon besser aus. Allerdings steht auf der rechten Seite noch keine Menge; da muss $\begin{eqnarray*} \{(3;-2)\} \end{eqnarray*}$ stehen (außerdem hast du das Minus vergessen, aber das war wohl nur ein Tippfehler).

21.02.2014, 03:48

Gastkonto

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Meine Konzentration lässt nach^^

Für h=20

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{16-(x-3)^2}-2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} -1\geq x\leq 7 \end{eqnarray*}$ alles erlaubt.
Beim y bin ich noch am überlegen

21.02.2014, 03:51

Gastkonto

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Sollte so lauten:
$\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 7 \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 03:59

10001000Nick1

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Da ist es jetzt wichtig, dass man die zwei Lösungen beim Wurzelziehen berücksichtigt, also $\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{16-(x-3)^2}-2 . \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 7 \end{eqnarray*}$ ist auch richtig.

Was willst du denn jetzt noch überlegen für y?
Du hast doch schon alles, was du brauchst, um die Menge hinzuschreiben.

21.02.2014, 04:02

Gastkonto

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Hab noch überlegt wie groß y werden kann:

$\begin{eqnarray*} 0,65\geq y\geq -2 \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 04:06

10001000Nick1

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Die obere Grenze stimmt nicht.
Aber, wie gesagt: Eigentlich ist das hier überflüssig (kann aber auch nicht schaden, wenn du dir das trotzdem überlegst smile

smile

).

21.02.2014, 04:24

Gastkonto

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Die obere Grenze von y ist +2

$\begin{eqnarray*} \{(x, y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=20\}=\left\{ (-1\leq x\leq 7),(2\geq y\geq -2)\right\} \end{eqnarray*}$

21.02.2014, 04:30

10001000Nick1

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Nein, so kann man das nicht hinschreiben. Irgendwo muss ja der Zusammenhang zwischen x und y auftauchen.

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y=\pm\sqrt{16-(x-3)^2}-2, -1\leq x\leq 7\} \end{eqnarray*}$

oder auch $\begin{eqnarray*} \{(x, \pm\sqrt{16-(x-3)^2}-2)\in\mathbb{R}^2|-1\leq x\leq 7\}. \end{eqnarray*}$

Und wie ich schon sagte, tauchen dort die Grenzen von y gar nicht auf.

Ich bin dann mal weg. Falls du noch Fragen hast, kann ich die im Laufe des Tages noch beantworten.
Was ist eigentlich mit diesem Thread? Hast du die zweite Aufgabe gelöst?

Gute Nacht, oder vielleicht eher guten Morgen! Wink

Wink

21.02.2014, 04:48

Gastkonto

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Vielen Dank das du dir soviel Zeit genommen hast smile

smile

Freude

Skizzieren Sie außerdem in der xy-Ebene die Höhen(Niveau)linien da werde ich wahrscheinlich nochmal Hilfe benötigen.

"Was ist eigentlich mit diesem Thread? Hast du die zweite Aufgabe gelöst?"
Hab ich noch nicht gelöst mach ich morgen.

Gute Nacht Wink

Wink

21.02.2014, 21:17

10001000Nick1

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Für h=3 braucht du nichts zu zeichnen.
Für h=4 musst du nur einen Punkt einzeichnen.
Für h=20 zeichnest du die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{16-(x-3)^2}-2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 7. \end{eqnarray*}$

Übrigens ist mir gerade aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} -2\leq y\leq y \end{eqnarray*}$ doch nicht ganz stimmt. Das würde nur stimmen, wenn $\begin{eqnarray*} y=+\sqrt{16-(x-3)^2}-2. \end{eqnarray*}$ Da aber vor der Wurzel $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ steht, ist $\begin{eqnarray*} -6\leq y\leq 2. \end{eqnarray*}$

22.02.2014, 14:22

Gastkonto

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Du hast sicher -1 gemeint^^

$\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{16-(x-3)^2}-2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 7. \end{eqnarray*}$

Stimmt die Zeichnung ? Darf man die Punkte verbinden ?

22.02.2014, 14:40

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Gastkonto
Du hast sicher -1 gemeint^^

Ist schon korrigiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wieso hast du denn ein dreidimensionales Koordinatensystem benutzt? Die Höhenlinie sollst du in der xy-Ebene zeichnen.

Man kann sich das so vorstellen: Man nimmt erstmal den Graphen der Funktion f (im dreidimensionalen Koordinatensystem) und markiert alle Punkte (x,y) mit f(x,y)=20. Und die Linie, die dann entsteht, wird auf die xy-Ebene projiziert.

22.02.2014, 14:44

Gastkonto

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Man zeichnet also erst im dreidimensionalen Koordinatensystem die Punkte ein und danach lässt man einfach die z Achse wegl und gut is oder ?

Muss jetzt aber erstmal weg Wink

Wink

22.02.2014, 14:50

10001000Nick1

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Ein dreidimensionales Koordinatensystem brauchst du nicht.
Wenn du es dir aber doch dreidimensional vorstellen willst, dann mach folgendes:

Nimm ein ganz normales zweidimensionales Koordiantensystem:

(das, was da oben rechts in der Ecke steht: einfach nicht beachten).
Da kannst du dir vorstellen, dass die z-Achse gerade nach vorn raus geht, also senkrecht aus deinem Bildschirm rauskommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann hast du sozusagen ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wenn du da jetzt die Punkte einzeichnest, ist das die Projektion auf die xy-Ebene.

23.02.2014, 05:02

Gastkonto

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Wenn ich das dreidimensionale Koordinatensystem drehe sodass z auf mich zukommt kommt das bei mir raus (siehe Bild).

Wie ist das dann mit der Achsenbeschriftung ?

25.02.2014, 13:20

10001000Nick1

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Die z-Achse wird nicht eingezeichnet. Das habe ich nur gesagt, damit du dir es vielleicht etwas besser vorstellen kannst. Aber eigentlich werden Höhenlinien in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet.

Ich zeig's dir mal, wie das aussehen muss:

Die vertikale Achse ist die y-Achse, die horizontale ist die x-Achse.

26.02.2014, 23:53

Gastkonto

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Ah ok Danke smile

smile

Werde die Tage nochmal so ne Aufgabe durchrechnen. Kann ich die hier dazu schreiben oder soll ich ein neues Thema erstellen ?

27.02.2014, 11:32

10001000Nick1

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Schreib das lieber in einen neuen Thread. Das wird sonst hier etwas zu unübersichtlich. smile

smile

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