Satz über implizite Funktionen Problem mit Jakobimatrix

21.02.2014, 14:02

ententeich

Satz über implizite Funktionen Problem mit Jakobimatrix

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} e^{x}ln(1+y)+2z \\ x^{2}cos(yz)+x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit y > -1

Zeige es gibt offene Mengen U von 0 in R, V von (0,e-1,0) in R2 und eine stetig diffbare Ableitung
$\begin{eqnarray*} \Psi U \rightarrow V \end{eqnarray*}$
so, dass
$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z) \in U \times V | f=(0,1)^{T} \} \end{eqnarray*}$
in der Form
$\begin{eqnarray*} \{\Psi(z),z | z\in U\} \end{eqnarray*}$
schreibbar ist.

Meine Ideen:
Nach dem Satz der impliziten Funktionen darf ja
$\begin{eqnarray*} D_{y}F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ nicht singulär sein.

Was ist $\begin{eqnarray*} D_{y}F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ?
Ist das ein spezieller Teil der Jakobimatrix?

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Viele Grüße
Simon

21.02.2014, 16:28

Cel

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Hallo,

schau mal, ich hab dazu mal einen Workshop gemacht: Workshop.

Das ist derjenige Teil der Jacobi-Matrix, wenn du die Ableitungen nach der ersten Variable abschneidest (also die erste Spalte).

Ok? Idee!

21.02.2014, 16:37

ententeich

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klasse! das werde ich mir durchlesen.
ich nehme also allgemein an:
$\begin{eqnarray*} D_{i}F \end{eqnarray*}$ ist die Jakobimatrix von F bei der die i-te Spalte weggelassen wird?

21.02.2014, 16:51

Cel

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Diese Notation kenne ich zwar, aber sie bringt dir hier nichts.

Merke dir das mit dem Satz aus dem Workshop:

Zitat:

Um zu testen, welche Matrix invertierbar sein soll (denn ganau das heißt die Bedingungen der nicht verschwindenen Determinante), schaut man sich die Dimension des Wertebereichs an. Passend dazu wählt man von rechts die Teilmatrix der Jacobimatrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus, die zu einer quadratischen Matrix führt. Nach Einsetzen muss dann nur noch die Regularität der Matrix überprüft werden.

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