Polynomdivision durch Nullstelle mit Rest

21.02.2014, 16:49

Max_1992

Polynomdivision durch Nullstelle mit Rest

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem. Ich möchte die Nullstellen zu einer Funktion finden. Es handelt sich hierbei um
f(x)=x^4-x^3-3x^2+5x-2

Meine Ideen:
Mit der Linearfaktorzerlegung komme ich zB auf die Nullstelle x=1.
Wenn ich aber nun eine Polynomdivision mit (x-1) durchführe hab ich am ende einen Rest von 10 übrig.
Eine weitere Nullstelle liegt laut LF-Zerlegung bei x=-2.
Doch hier bleibt ein Rest von -24. Hab mir den Graph online zeichnen lassen und gesehen dass ich hier bereits beide Nullstellen durch die LF Zerlegung habe, aber in der Prüfung hab ich diese Möglichkeit nicht.
Hier meine Ergebnisse von den Polynomdivisionen:
x^4-x^3-3x^2+5x-2 : (x-1) = x^3-3x-8 Rest 10
x^4-x^3-3x^2+5x-2 : (x+2) = x^3-3x^2-3x+11 Rest -24

Ich habe mal gelesen dass es eigentlich keinen Rest geben darf wenn ich durch Nullstellen teile. Hab ich also einfach die Polynomdivision Falsch gemacht?

Danke im vorraus schonmal!
Gruß Max_1992

21.02.2014, 16:51

Iorek

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RE: Polynomdivision durch Nullstelle mit Rest

Zitat:

Original von Max_1992
Ich habe mal gelesen dass es eigentlich keinen Rest geben darf wenn ich durch Nullstellen teile. Hab ich also einfach die Polynomdivision Falsch gemacht?

Das hast du richtig gelesen und ja, deine Polynomdivision ist dann falsch.

22.02.2014, 15:43

Shalec

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(x^4-x^3-3x^2+5x-2) : (x-1) = x^3-3x-8 Rest 10

Du rechnest hier zum Teil richtig: (Hier mal in Teilschritten)

$\begin{eqnarray*} (x^4-x^3-3x^2+5x-2) : (x-1) \end{eqnarray*}$
Dazu berechne:
$\begin{eqnarray*} x^4 : x = x^3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \to x^3\cdot(x-1) = x^4-x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^4-x^3-3x^2+5x-2 - (x^4-x^3)=-3x^2+5x-2 \end{eqnarray*}$
Rechne mit $\begin{eqnarray*} -3x^2+5x-2 \end{eqnarray*}$ weiter:
$\begin{eqnarray*} -3x^2:x = -3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to -3x\cdot(x-1)=-3x^2+3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ (-3x^2+5x-2)-(-3x^2+3x)=2x-2 \end{eqnarray*}$
Rechne mit $\begin{eqnarray*} 2x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x:x=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2\cdot(x-1)=2x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ 2x-2-(2x-2)=0 \end{eqnarray*}$

Insgesamt ergibt sich so (jeweils die Ergebnisse aufaddiert):
$\begin{eqnarray*} (x^4-x^3-3x^2+5x-2) : (x-1)=x^3-3x+2 \end{eqnarray*}$

Wenn Du dies hier vollständig liest und dir Notizen machst (gerne auch in der schriftlichen Divisionsform, die ich hier leider nicht zeiteffektiv erzeugen kann), solltest Du es nachvollziehen können und die zweite Aufgabe ohne Probleme selber lösen können. Dein Fehler lag übrigens im Übergang vom 2. zum 3. Punkt

22.02.2014, 16:07

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Shalec
(gerne auch in der schriftlichen Divisionsform, die ich hier leider nicht zeiteffektiv erzeugen kann)

Du meinst sowas?

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \polyset{style=C, div=:,vars=x} \polylongdiv{x^4-x^3-3x^2+5x-2}{x-1}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Dauert doch gar nicht so lange. Augenzwinkern

23.02.2014, 12:01

Shalec

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Shalec
(gerne auch in der schriftlichen Divisionsform, die ich hier leider nicht zeiteffektiv erzeugen kann)

Genau, kannte den Befehl dafür nicht Augenzwinkern

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