Vektoren bestimmen

21.02.2014, 17:46

Rivago

Vektoren bestimmen

Gegeben ist der Pyramidenstumpf mit $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OA} = ~\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OC} = ~\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OD} = ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ . Die Seiten der Deckfläche sind halb so lang wie die der Grundfläche.

a) Notiere alle verschiedenen Vektoren, die man nur mit den Kanten dieses Körpers beschreiben kann.

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AO} = ~\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} = ~\overrightarrow{OC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{EF} = ~\overrightarrow{DG} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{ED} = ~\overrightarrow{FG} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AE} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{BF} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{CG} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OD} \end{eqnarray*}$

+ alle entgegengesetzten Vektoren

Stimmt die Lösung? smile

Dazu noch eine Skizze. Ist mir leider nicht sonderlich gelungen.
Nochmal als Erläuterung: A, B, C und O sind die Eckpunkte der Grundfläche. Die Eckpunkte E, F, G und D gehören zur Deckfläche.

21.02.2014, 21:02

opi

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Hast Du die Aufgabenstellung wortwörtlich exakt hierhergeschrieben? verwirrt

Gemeint wird sein, alle möglichen Vektoren durch $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Nicht nur die Kanten, sondern auch die "queren" wie z.B. $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AG}=- \vec a + \vec c +\frac 12 \vec b \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OC} = ~\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OD} = ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

OC den Namen b zu verleihen, wenn auch noch ein Vektor c vorhanden ist, ist Teufel

21.02.2014, 21:56

Rivago

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Jep, ich hab die Aufgabe genau so aufgeschrieben. Die Kennzeichnung ist in der Tat etwas unglücklich gewählt, aber was solls.

Aufgabe b) lautet dann wie folgt:

Wie viele verschiedene Vektoren lassen sich mit den Raum - und Flächendiagonalen aufstellen?

und c)

Beschreibe folgende Vektoren nur mit $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{a}, ~\overrightarrow{b} und ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{BE} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{OB} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AG} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{DF} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{EF} \end{eqnarray*}$

Die Lösung bei $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{BE} \end{eqnarray*}$ ist : $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}~\overrightarrow{a} - ~\overrightarrow{b} + ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

Wollte aber dennoch erstmal Aufgabe a lösen, deswegen hab ich nur die aufgeschrieben.
Vllt ist es aber jetzt klarer, was gemacht werden soll, nachdem du alle anderen Aufgaben dazu hast? smile

21.02.2014, 22:20

opi

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Jetzt ist es klarer. smile

Zitat:

a) Notiere alle verschiedenen Vektoren, die man nur mit den Kanten dieses Körpers beschreiben kann.

"Notiere alle verschiedenen Vektoren, die nur die Kanten dieses Körpers beschreiben" wäre glücklicher formuliert. Nun ja, Deine aufgestellten Vektoren für a) sind richtig. Freude

Gibt es ein Problem bei b) ?
Bei Aufgabe c) hatte ich zufällig bereits Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AG} \end{eqnarray*}$ hingeschrieben. Du solltest überprüfen, ob der wirklich stimmt. Augenzwinkern

21.02.2014, 22:43

Rivago

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Bei der b) müssten es 28 sein, oder? 24 in den Flächendiagonalen und 4 im Raum.

Die c) muss ich morgen in Ruhe mal machen. Werde mich dann melden Wink

21.02.2014, 22:52

opi

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24 Flächendiagonalen sind incl. Gegenvektoren richtig.
Bei den Raumdiagonalen gibt es mehr. Von jeder Ecke der Grundfläche geht eine Raumdiagonale aus.

Edit: Ich habe Dein Edit nicht gesehen. Zu den Raumdiagonalen gehören noch die Gegenvektoren.

22.02.2014, 11:53

Rivago

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Jop, die hab ich vergessen. Also sind es insgesamt 32 Vektoren, richtig? smile

Bei Aufgabe c) hab ich folgende Lösungen:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BE} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{DF} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das haut so hin. smile

22.02.2014, 13:22

Nubler

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sind nur ganzzahlige linearkombinationen zulässig oder auch reellwertige?

22.02.2014, 13:41

Rivago

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Ähmm

Was bedeutet das?

22.02.2014, 13:56

Nubler

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was ich mein, sind zum beispiel nur vektoren der form von z.b.

$\begin{eqnarray*} 3\cdot\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2\cdot\overrightarrow{AB}-5\cdot\overrightarrow{AE} \end{eqnarray*}$

oder auch vektoren wie

$\begin{eqnarray*} \pi\cdot\overrightarrow{OD} \end{eqnarray*}$

zugelassen.

letztlich geht es um folgendes:

die zahlen vor den vektoren geben an, um wieviel sie gestreckt oder gestaucht werden.
die frage ist nun, welche zahlen verwendet werden dürfen, denn dies macht einen bedeutenden faktor in der lösung der aufgabe.

22.02.2014, 15:58

Rivago

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Also wir haben es bis jetzt nur so gelernt, wie ich es hier geschrieben hab Augenzwinkern

22.02.2014, 16:22

opi

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Zitat:

Original von Rivago
Also wir haben es bis jetzt nur so gelernt, wie ich es hier geschrieben hab Augenzwinkern

Das ist auch gut so!

Deine Ergebnisse im Beitrag weiter oben sind alle richtig, bis auf $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{DF} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{DF} ={\color{red} -}\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$
Dieses Minus hat da nichts zu suchen. Augenzwinkern

22.02.2014, 16:59

Rivago

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Ups, ein kleiner Denkfehler meinerseits ^^

Wir haben erst begonnen mit Vektorrechnung. Sind noch ganz am Anfang, hier und da ein paar Pfeile beschreiben, zeichnerische Lösungen und eben sowas, wie ich hier die Aufgabe gestellt habe. Wink

Danke für deine Hilfe smile

22.02.2014, 19:49

opi

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Gern geschehen.

Noch ein Tip: Zeichne in die Skizzen unbedingt auch die Orientierung der Vektoren ein, das macht "die Reise durch das Gitternetz" erheblich einfacher. Augenzwinkern

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