Kurvenuntersuchung, trigonometrische Funktion

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Cravour Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenuntersuchung, trigonometrische Funktion
Nabend Wink ,

ich bemühe mich momentan an einer Aufgabe, aber weiß nicht so recht, wie es
weiter geht. Bräuchte mal bitte wieder einen Anstoß :P.




Die aufgeführte Formel modelliert die Taglänge in Berlin - also die Zeit zwischen
Sonnenaufgang und Sonnenuntergang. t steht für den Tag und
L für die Taglänge in Minuten.

1) Bestimmen Sie den längsten und den kürzesten Tag des Jahres.
2) Bestimmen Sie die Taglänge am 15. März und am 15. Juli.
3) An welchem Tag im Herbst des Jahres herrscht die gleiche Taglänge wie am
1.Mai?
4) An welchen Tagen des Jahres ändert sich die Taglänge am stärksten?
h) Wie lautet die mittlere Taglänge im Juni bzw. Juli? Welcher Monat hat die
kürzeste Taglänge.

Zu 1)
Gesucht sind die Extrema. Nach dem notwendigen Kriterium setze ich die erste
Ableitung gleich Null.
cos(0,0172t-1,38)=0 -> Jetzt muss ich die Substitution durchführen, aber weiß
nicht, was ich alles für "u" ersetzen muss. Nur die 0,0172t oder 0,0172t-1,38?
Ich dachte mir ersteres wäre richtig, aber dann komme ich nicht weiter, weil ich
die 1,38 nicht wegkriege.

Zu 2)
Hier muss ich nur berechnen, der wievielte Tag der 15. März und Juli sind und
in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen?

Zu 3)
Am 1. Mai beträgt die Taglänge 913 Minuten, das heißt, die Funktion gleich 913
setzen?

Zu 4)
Hier ist der Wendepunkt gesucht, aber ich habe dasselbe Problem wie bei 1) mit
der Substitution.

Zu 5)
Bin mir nicht ganz sicher, ob es stimmt, aber ist hier etwa nach der mittleren
Änderungsrate gesucht?


Danke im voraus smile .
Xbf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
um solche Gleichungen nach t umzustellen, guckst du dir am besten an, wann wird. Da Cosinus periodenförmig ist, gibt es dafür unendlich viele Lösungen. Aber du weißt, dass t irgendwo zwischen 1 und 365 liegen muss.
Z.B. wird bei 90° und bei 270° bzw. in Bogenmaß und .

Ein Lösung für t in der Gleichung ist, wenn .
Bei solchen Sachen am besten mit den Brüchen und nicht mit Nährungen arbeiten. Auch wenn du jetzt weiter umformst. Da sonst der Cosinus nicht exakt Null wird.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Grüße
Xbf
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Ableitung kommt also



Dann ist es am einfachsten, du setzt einfach das Argument, so wie es ist, gleich ,
somit










Zu 5.
Die mittlere Tageslänge ist NICHT die mittlere Änderungsrate.
Hinweis: Mittelwert einer Funktion innerhalb eines gegebenen Intervalls mittels des bestimmten Integrals.

mY+
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Ein Hochpunkt wäre also H(172 l 1010) und eine Tiefpunkt T(354 l 459)?
Und die Extrema wiederholen sich jeweils im Intervall.

Zu 2) Der 15. März ist t=74, also L(74)=706 Minuten;
Der 15. Juli ist t=196, also L(196)=986 Minuten

Zu 4) Wendepunkt: W(80 l 735)

Zu 5) Da habe ich um ehrlich zu sein, nur geraten. Aber gibt es auch einen anderen
Weg, um diese Aufgabe zu lösen? Integralrechnung hatten wir nämlich noch gar
nicht verwirrt .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall wird es etwas ungenauer:
Für das Monatsmittel wird das arithmetische Mittel einiger Messwerte in diesem Monat ermittelt. Vorzugsweise vom Anfang und Ende des Monats.
Je mehr Werte verwendet werden (z.B. Summe von 30 Tageswerten / 30), desto zutreffender wird das Ergebnis.

mY+
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also eher etwas aufwendiger^^. Das berechne ich dann später mal.
Stimmte der Rest?

Ansonsten habe ich noch ein Problem bei Aufgabe 3). Der 1. Mai ist ja der 121.
Tag und die dazugehörige Taglänge ist 913. Und wenn ich die Funktionsgleichung
gleich 913 setze, komm ich logischerweise wieder auf 121. Wie kann ich denn
wissen, welcher Herbsttag eine Taglänge von 913 Minuten hat? Müsste ja ein
Tag zwischen dem 244. und 305. sein (zwischen September und November).

verwirrt
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cravour
Der 1. Mai ist ja der 121.
Tag und die dazugehörige Taglänge ist 913. Und wenn ich die Funktionsgleichung
gleich 913 setze, komm ich logischerweise wieder auf 121.

Da stimmt etwas an deiner Logik nicht. Vielleicht zeigst du mal, was du rechnest. Beachte, daß Gleichungen der Form sin(x) = a mit -1 <= a <= 1 innerhalb des Definitionsbereichs mehrere Lösungen haben können.
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich gerechnet:

275,5sin[0,0172(t-80)]+734,5=913 l -734,5
275,5sin[0,0172(t-80)]=178,5 l :275,5
sin[0,0172(t-80)]=0,65 l arcsin
0,0172(t-80)=0,71 l :0,0172
t-80=41

Also ist t1=121

Muss ich für die 2. Basislösung pi - 121 berechnen? Oder musste ich vorher schon
mit der Substitution arbeiten? Falls ja, da kam ich nicht weiter, weil ich nicht weiß,
wodurch genau u ersetzt wird verwirrt .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cravour
sin[0,0172(t-80)]=0,65 l arcsin

An dieser Stelle kannst du nicht einfach den arcsin nehmen. Denn dazu müßte der Urbildbereich des Sinus das Intervall [-pi/2; pi/2] sein. Das ist hier aber nicht der Fall. Du mußt mal auf der Sinuskurve im Intervall [0; 2*pi] schauen, an welchen Stellen die Sinuskurve den Wert 0,65 erreicht. Weitere Werte erhältst du durch Addition von ganzzahlig Vielfachen der Periode 2*pi.
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

t=221 würde hinkommen, das wäre der 10. August. Naja, nicht ganz Herbst,
aber ungefähr. Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt. Der Rechenweg dazu wäre jetzt noch toll. smile
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht ganz, ob das der gewünschte Rechenweg ist :P. Die Extremstelle
liegt bei 171. Also habe ich einfach den 1. Mai (t=121) von 171 subtrahiert und
dann einfach den Wert zum Hochpunkt dazu addiert. Also 171+50=221.


Gilt das als Rechenweg? Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung ist ok, auch wenn der Aufgabensteller vermutlich etwas anderes erwartet hätte. Es geht schließlich auch, ohne daß man die Extremstelle kennt.
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal smile .

Ich würde gerne auch den anderen Rechenweg verstehen wollen. Macht man das
über die Addition von den Vielfachen von 2 pi? Woher weiß man dann, wie oft 2 pi
dazu addiert werden soll?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal braucht man die beiden Stellen im Intervall [0; 2*pi], wo sin(x) = 0,65 ist. Bei der anschließenden Addition der 2pi-Periode muß man immer darauf achten, daß man im Definitionsbereich der betrachteten Funktion bleibt.
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »

sin(x)=0,65 -> Dann sind die x-Werte etwa: x=0,7 und x=2,4.

Jetzt muss ich jeweils 2 pi addieren bis ich auf das Ergebnis komme? Das Intervall
für t ist 1<= t <= 365... Einfach ausprobieren bis man auf 913 kommt? Also in
größeren Schritten natürlich^^.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam mit den jungen Pferden. Jetzt wissen wir, daß an den Stellen sowie die Funktion sin(x) den Wert 0,65 erreicht.

Betrachten wir nun die Gleichung sin[0,0172(t-80)]=0,65 . Da gibt es jetzt 2 Fälle für das Argument des Sinus:

1. Fall:

2. Fall:

Diese beiden Gleichungen mußt du nach nun t auflösen.
Cravour Auf diesen Beitrag antworten »





So vielleicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch beim Rechnen mit Brüchen gilt: erhöhte Vorsicht!!!

Richtig ist:





Oder ist etwa ? verwirrt

Für welches k erhältst du nun Lösungen im Intervall [1; 365] ? Da im Grunde ein Tag im Herbst gesucht wird, läßt sich das Intervall noch weiter einschränken.
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