Gibt es eine Vereinfachung?

22.02.2014, 21:21

Simplification

Gibt es eine Vereinfachung?

Hi,

Wie kann ich folgende Zahl mit größter Faulheit im Taschenrechner ausrechnen?
$\begin{eqnarray*} x^{1}+x^{2}+x^{3}+...+x^{n} \end{eqnarray*}$

Es ist zu anstrengend das alles einzutippen, wenn n recht groß ist. Daher meine Frage:
Gibt es eine algebraische Vereinfachung dazu?

Und was tun wenn es nicht bei 1 anfängt, sondern z.B. bei 2?
Also:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x^{3}+...+x^{n} \end{eqnarray*}$

Danke.

22.02.2014, 21:24

Iorek

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Wenn dir die geometrische Summenformel bekannt ist, lässt sich das darauf zurückführen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k=\frac {1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn deine Summe nicht mit $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ anfängt, müssen die entsprechenden Summanden danach eben noch subtrahiert werden, um das korrekte Ergebnis zu erreichen.

22.02.2014, 21:36

Simplification

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Zitat:

Original von Iorek
Wenn dir die geometrische Summenformel bekannt ist, lässt sich das darauf zurückführen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k=\frac {1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn deine Summe nicht mit $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ anfängt, müssen die entsprechenden Summanden danach eben noch subtrahiert werden, um das korrekte Ergebnis zu erreichen.

Cool. Danke.
Wenn sie also nicht mit x^0 anfängt sondern mit x^3 würde ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1-x^{n+1}}{1-x}- x^0 - x^1-x^2 \end{eqnarray*}$

Wäre so richtig, oder?
Danke nochmals.

22.02.2014, 21:38

Iorek

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Ja, so würde das dann aussehen. smile

22.02.2014, 21:56

Simplification

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So, ich nochmal:
Stimmt nicht auch folgendes:?

$\begin{eqnarray*} \frac {1-x^{n+1}}{1-x}- x^0 - x^1-x^2 = \frac {1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1-x^{2+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

22.02.2014, 22:17

Iorek

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Ja, man kann die subtrahierten $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ wieder als geometrische Summe interpretieren und entsprechend umschreiben.

22.02.2014, 22:56

Simplification

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So dank dir lorek habe ich nun meine Zahl errechnen können. Ohne dir wäre dies mir nicht möglich gewesen. Chapeau! Ich will die Zahl gar nicht unbedingt vorenthalten.
Sie lautet ca:

$\begin{eqnarray*} 8*10^{112} \end{eqnarray*}$

Kein Wunder, dass dies nicht so einfach mit eintippen geht.
Bei dieser Zahl habe ich nur ein kleines Problem:
Wie kann ich mir diese jetzt vorstellen? *kopfkratz*

Ist die Zahl so groß wie es Partikel im Universum gibt? Gibt es mehr Partikel? Gibt es weniger Partikel?

22.02.2014, 23:07

Iorek

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Nach http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~bessen/krypto/krypto8.htm gibt es gerade einmal $\begin{eqnarray*} 10^{77} \end{eqnarray*}$ Atome, das ist "lächerlich klein" im Vergleich zu deinen $\begin{eqnarray*} 10^{112} \end{eqnarray*}$ . Wie man sich diese Zahl vorstellen kann? Würde ich gar nicht machen wollen. Es ist eine riesige Zahl mit 112 Nullen (wobei das "riesig" natürlich nur subjektiv ist. $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{1000000000000} \end{eqnarray*}$ ist definitiv größer als $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{112} \end{eqnarray*}$ aber immer noch kleiner als $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{100000000000000000000000000000} \end{eqnarray*}$ , ab wann ist also eine Zahl "riesig?).

22.02.2014, 23:36

Simplification

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Zitat:

Original von Iorek
Nach ... gibt es gerade einmal $\begin{eqnarray*} 10^{77} \end{eqnarray*}$ Atome, das ist "lächerlich klein" im Vergleich zu deinen $\begin{eqnarray*} 10^{112} \end{eqnarray*}$ . Wie man sich diese Zahl vorstellen kann? Würde ich gar nicht machen wollen. Es ist eine riesige Zahl mit 112 Nullen (wobei das "riesig" natürlich nur subjektiv ist. $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{1000000000000} \end{eqnarray*}$ ist definitiv größer als $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{112} \end{eqnarray*}$ aber immer noch kleiner als $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^{100000000000000000000000000000} \end{eqnarray*}$ , ab wann ist also eine Zahl "riesig?).

Absolut gesehen macht das Kriterium "riesig" natürlich nicht viel Sinn, da es ja immer Zahlen gibt die größer sind. Den Begriff riesig verwendete ich so, dass ich damit Zahlen meine, die sich nur verdammt schwierig oder auch gar nicht vorstellen lassen können.

Aber es gibt doch immerhin einen guten Einblick zu wissen, dass meine Zahl größer ist als es Atome im Universum gibt.

Das haut mich ein wenig um.
In diesem Sinne:

Gute Nacht smile

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