Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit negativem Exponenten

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23.02.2014, 14:54	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit negativem Exponenten Hallo zusammen, ich hab meine Frage hier schon gesucht, aber leider keine Antwort gefunden, die mir weiterhelfen konnte. Falls diese Frage schonmal beantwortet wurde und ich es überlesen haben sollte, tut mir das wirklich Leid. Ich soll die von zwei Funktionen eingeschlossene Fläche berechnen. Um herauszufinden, wie die Grenzen meines Integrals aussehen, möchte ich beide Funktionen gleichsetzen und nach null auflösen, damit ich die Schnittstellen finde und so die Grenzen meines Integrals habe. Die Funktionen lauten: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{-1}{x^{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=2,5x-5,25 \end{eqnarray}$ Ich habe f(x) gleich g(x) gesetzt und nach null umgestellt: $\begin{eqnarray} 0=2,5x-5,25+x^{-2} \end{eqnarray}$ Nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich hier die Nullstellen bekomme. Eine meiner Ideen war, die gesamte Gleichung mal $\begin{eqnarray} x^{-2} \end{eqnarray}$ zu nehmen, aber ich glaube, dass das nicht zielführend ist, da $\begin{eqnarray} x^{-2} \end{eqnarray}$ dann komplett wegfiele. Wie und ob man eine Playnomendivision mit dieser Gleichung durchführen darf, weiß ich nicht. Ausklammern oder substituieren kann ich bei dieser Gleichung ja nicht, daher meine Frage: Wie kann ich diese Gleichung lösen? Vielen Dank im Voraus!
23.02.2014, 14:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht mit $\begin{eqnarray} x^{-2} \end{eqnarray}$ multiplizieren, sondern mit $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$
23.02.2014, 15:08	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok, danke dir. Also: $\begin{eqnarray} 0=2,5x^{3}-5,25x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x\left(2,5x-5,25\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=0 v x=2,1 \end{eqnarray}$ Aber x kann doch nicht null sein, weil null doch niemals im Nenner stehen darf, oder vertue ich mich da?
23.02.2014, 15:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2}\cdot x^2=1 \end{eqnarray}$ und nicht Null. Die 1 darfst du natürlich nicht vergessen. Hier geht es nun mit der Polynomdivision weiter.
23.02.2014, 15:36	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau, stimmt. Tut mir Leid, das war wirklich doof. $\begin{eqnarray} 0=2,5x^{3}-5,25x^{2}+1 \end{eqnarray}$ Durch ausprobieren hab ich die Nullstelle x=2 gefunden. Die Polynomendivision liefert: $\begin{eqnarray} \left(2,5x^{3}-5,25x^{2}+1\right): \left(x-2\right) = 2,5x^{2}-0,25x-0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=2,5x^{2}-0,25x-0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^{2} -0,1x-0,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\frac{0,1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-0,1}{2} \right)^{2} +0,2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=0,5 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=-0,4 \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? Wenn ich nun drei Nullstellen habe, habe ich doch zwei eingeschlossene Flächen, richtig?
23.02.2014, 15:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wobei es eigentlich nur Sinn macht die eingeschlossene Fläche von x=0.5 bis x=2 zu berechnen. Ist da die Aufgabenstellung genauer?
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23.02.2014, 15:50	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Es ist nach der Größe der von g und f begrenzten Fläche gefragt, weitere Bedingungen werden nicht genannt. Das Problem mit einem Integral von -0,4 bis 0.5 wäre doch, dass f(x) für x=0 gar nicht definiert ist, oder ist das egal? Denn die Funktionen schließen ja eigentlich nur eine Fläche ein, bei -0,4 bis 0,5 entsteht ja keine vom beiden Funktionen eingeschlossene Fläche, oder?
23.02.2014, 15:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Über Definitionslücken zu integrieren ist nicht so cool. Wirklich berechnen kannst du nur die Fläche von x=0.5 bis x=2
23.02.2014, 16:06	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke dir. $\begin{eqnarray} - \int_0,5^2 \! \left(\frac{-1}{x^2} -2,5x-5,25\right) \, dx \end{eqnarray}$ Ich hab Probleme, die Grenzen hier richtig reinzubekommen, aber ich denke, dass du weißt, was ich meine. $\begin{eqnarray} = - \left[\frac{1}{x} -1,25x^{2} -5,25x\right]_{0,5}^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =14,0625 \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das so weit richtig ist. Vielen lieben Dank für deine schnelle Hilfe, jetzt weiß ich in Zukunft, wie ich die Brüche wegbekomme.
23.02.2014, 16:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mehr als eine Ziffer hoch oder tief stellen möchtest, dann sind geschweifte Klammern {..} von Nöten. $\begin{eqnarray} \int_{0.5}^2 -\frac{1}{x^2}-2.5x-5.25\, dx \end{eqnarray}$ Du hast hier auch einen Fehler gemacht. Du ziehst den Konstanten Faktor -1 aus dem Integral raus, drehst dabei aber nicht konsequent die Vorzeichen. Wir haben ja wenn wir h(x)=f(x)-g(x) setzen $\begin{eqnarray} h(x)=-\frac{1}{x^2}-2.5x+5.25 \end{eqnarray}$ Richtig muss es also so lauten: $\begin{eqnarray} -\int_{0.5}^2 \frac{1}{x^2}+2.5x-5.25\, dx \end{eqnarray}$
23.02.2014, 16:35	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, ok. Danke. Ich habe das Minus vor das Integral nicht geschrieben, um -1 als Faktor auszuklammern, sondern weil der Flächeninhalt ja unterhalb der x-Achse liegt. Uns wurde beigebracht, dass man in diesem Fall entweder ein Minus vor das Integral schreibt, Betragsstriche verwendet oder die Grenzen vertauscht. Ich habe mich hier für das Minus entschieden, weil ich das am einfachsten fand. Am Ende habe ich mein Ergebnis dann mal minus 1 gerechnet und 14,0625 herausbekommen. Oder versteh ich dich komplett falsch?
23.02.2014, 16:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtsdestotrotz bleibt der Vorzeichenfehler innerhalb des Integranden.
23.02.2014, 17:26	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also: $\begin{eqnarray} -\int_{0,5}^2 \! \left(\frac{-1}{x^2} -2,5x+5,25\right) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - \left[\frac{1}{x} -1,25x^2 + 5,25x\right]_{0,5}^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - \left[ \left(\frac{1}{2} -1,252^2 +5,252\right) - \left(\frac{1}{0,5} -1,250,5^2 +5,250,5\right) \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - \left[6 - \frac{73}{16} \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 10,5625 \end{eqnarray}$ So?
23.02.2014, 18:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dich da verrechnet haben. Die zweite Klammer sollte das Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{69}{16} \end{eqnarray}$ liefern. $\begin{eqnarray} 6-\frac{69}{16}=\frac{27}{16}=1.6875 \end{eqnarray}$
23.02.2014, 21:04	palim.palim	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe.
24.02.2014, 04:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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