Stabile Populationsmatrix - Variable |
| 23.02.2014, 16:59 | Leon123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Stabile Populationsmatrix - Variable Hallo zusammen! Ich hänge gerade bei einer Aufgabe zum Thema Populationsmatrizen. Die Matrix A, die eine Population von Fischen beschreibt, hat die Form . Nun ist eine Teilaufgabe: "Berechne den Wert a, der - an Stelle von 0,5 in der Matrix - stehen müsste, damit die Population langfristig stabil bleibt. Meine Ideen: Meine Idee war, das ganze über ein LGS zu lösen mit dem Ansatz, dass die Matrix (mit a) multipliziert mit einem beliebigen Bestandsvektor wieder erneut der Bestandsvektor sein muss. Dabei komme ich auf folgendes LGS: 45z = x 0,1x = y 0,2y + a*z = z Ist dieser Ansatz richtig? Falls ja, wie rechne ich dann weiter? Da fehlt mir leider gerade die entscheidende Idee und mit Additionsverfahren usw. will es auch nicht wirklich klappen. Danke! |
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| 23.02.2014, 17:12 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, sieht ganz gut aus. Jetzt siehst du bei Gleichung 1, dass x=45z. Für x setzt du dann 45z in Gleichung 2 ein. Dann weißt du wie viel z ein y ist. Für y setzt du dann diesen Term in Gleichung 3 ein. Dann hast du eine Gleichung nur noch mit z und a. Damit kannst du dann bestimmen welchen Wert a annehmen muss, damit Gleichung 3 eine wahre Aussage ist. Grüße. |
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| 23.02.2014, 17:20 | Leon123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Super, danke, das hilft mir schon mal sehr weiter! 
Dann habe ich also 0,9z + a*z = z. Dann kann ich beide Gleichungen durch z dividieren und erhalte nun als Ergebnis a=10/9 Ist das richtig? |
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| 23.02.2014, 17:36 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gleichung stimmt soweit. 
Nur das Ergebnis nicht. Du kannst die Gleichung durch z teilen, wenn man annimmt, dass z > 0. Kann man das nicht voraussetzen, dann lass z einfach stehen, und bringe 0,9z auf die rechte Seite der Gleichung. Dann kannst du die rechte Seite verrechnen. Und zum Schluss die linke und rechte Seite der Gleichung vergleichen: Welchen Wert muss a annehmen, damit die Gleichung wahr ist ? |
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| 23.02.2014, 17:49 | Leon123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles klar, also 0,1 als Ergebnis? Wenn ich das Ergebnis jetzt interpretieren soll und vorher 0,5 der Wert war. Ist es dann richtig, zu sagen, dass der Übergang 0,5 von Altfischen zu Altfischen (also deren Überlebensrate) dazu geführt hat, dass die Population exponentiell wächst? Und dass durch die 0,1 dieses unbegrenzte Wachstum eingedämmt ist? Kann man dann sagen, dass 40% der Altfische (Differenz von 0,5 zu 0,1) abgefischt werden können und trotzdem bleibt die Population stabil? |
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| 23.02.2014, 18:16 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau.
Die Ursache für eine langfristig nicht stabile Verteilung liegt nicht allein an der Überlebensrate der Altfische. Man könnte auch an der Geburtenrate der Jungfische etwas verändern. Insofern kann man sagen, dass die Herabsetzung der Überlebensrate der Altfische auf 0,1 dazu führt, dass die Population langfristig stabil bleibt.
Genau, dann bleibt die Population langfristig stabil. Sonst ist sie nicht zwingend langfristig stabil. "trotzdem" ist hier nicht angebracht. |
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