Lösung von Determinanten interpretieren

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Snaff Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung von Determinanten interpretieren
Hallo und schönen Sonntag smile


ich habe eben eine Aufgabe gelöst und bin mir unsicher ob ich die Lösung der Determinaten richtig interpretiert habe. Beim Lösung von 1.) hatte ich keine Schwierigkeiten nur weiß ich nicht ob meine Begründung "anerkannt" wird.
Deshalb wäre ich sehr dankbar wenn sich jemand die Zeit nimmt und mal eben drüber schaut.


Aufgabenstellung
Zitat:

1.) Bestimme die Determinante von A & B. Welche Aussagen können Sie über den Rang, sowie Bild und Kern der Abbildung machen. Sind die Abbildungen Injektiv/Surjektiv?
2.)Bestimme die reele Zahl y, so dass die Abbildung C injektiv ist.
Welche Dimension hat das Bild der Abbildung.
Ist die Abbildung für diese Werte umkehrbar.



Meine Lösung:

1.)Determinante von A = 0 (ist auch mit einem onlinetool kontrolliert)
-> Das bedeutet, die Zeilen & Spalten müssen linear abhängig sein, da wenn det(A) =/= 0 ist sind Sie linear unabhängig.
-> Daraus folgere ich, dass der Rang(A) < n bzw. 2 sein muss, da es linear abhängige Spalten gibt. Der Rang(A) ist also 1.
-> Daraus folgere ich, dass die Dim(Bild(A)) = 1 sein muss.(Dimensionssatz: Rang(A) = Dim(Bild(A)))
-> Daraus folgere ich, dass die Dim(Kern(A)) = 1 sein muss.(Dimensionsatz: Dim = Dim(Bild)+Dim(Kern)
-> Daraus golgere ich wiederum, dass die Abbildung surjektiv sein muss. Weil Dim(Kern) > 0 ist.

Determinate von B = -2(ebenfalls kontrolliert)
-> Wenn Die Determinate ungleich 0 ist:
-> ist der Rang(B) = n also 3
-> Rang(B) = Dim(Bild(B)) = also auch 3
-> Die Dimension des Kerns ist laut des Dimensionssatzes = 0
-> daher muss die Abbildung injektiv sein. (Abbildung ist injektiv wenn Dim(Kern) = 0 ist)

2.)
Ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Mein Ansatz ist: Setze Werte ein damit Dim(Kern) = 0 ist. Also Werte die die Abbildung linear unabhängig machen. Nur wie berechne ich das mit y?
Durch gucken würde ich sagen:
y darf kein Element von {0; 0,5; 2} sein.
Weil für 0,5 und 2 die 1. und 3. Spalte linear abhängig sind und 0 nicht weil dann die 1. und 2. Zeile linear abhängig wären.

Ist die Abbildung umkehrbar? Also bijektiv? Wie zeige ich das?

LG Snaff
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1)
Matrix A:
Fast richtig. Ein Hinweis, dass der rang nicht 0 sein kann wäre vielleicht noch angebracht. Die Aussage über die Surjektivität hingegen ist falsch.

Matrix B stimmt.

Zu 2)
Warum nutzt Du hier nicht einfach auch die Determinante?
Von den drei y-Werten, die Du angegeben hast, stimmen nur zwei. Mehr tauchen in der Matrix ja auch nicht auf, so dass die Determinante nicht mehr als eine doppelte Potenz von y aufweisen kann (und somit maximal zwei Nulllösungen besitzt)
Snaff Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Helferlein smile

Dankeschön für deine Zeit.

Meine Verbesserung für 1.)

-> Rang(A) ist größer 0, da es sich nicht um eine Null-Matrix handelt.
Wenn die Abbildung nicht surjektiv ist, und nicht injektiv(weil Dim(Kern) > 0), dann kann sie ja nur noch bijektiv sein. Aber woran kann ich das erkennen? Ich vermute mal
- Dim(Bild)=Dim(Kern)? oder
- wenn alle Spalten durch linearkombinationen einer anderen Spalte darstellbar ist?

2.)
Die Determinante von C ist 2y.(Wegen der Variable nicht kontrollierbar)
det(C) ist ungleich 0, wenn y ungleich 0

-> Wenn det(x) ungleich 0 bedeutet das, Dim(Kern) = 0
=> Die Abbildung ist für y ungleich 0 injektiv
-> Dim(Bild) = 3

Und zur Umkehrbarkeit bin ich ratlos. Ist die Abbildung nicht immer bijektiv, wenn det(x)=0?



LG
Snaff
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dir scheint nicht wirklich klar zu sein, was Bijektivität bedeutet. Wie willst Du eine Funktion umkehren, die nicht injektiv ist? Wenn es zwei verschiedene Elemente gibt, die dasselbe Bild haben, was sollte dann dessen Bild unter der Umkehrfunktion sein?

Die Determinsnte von C ist leider auch falsch. Schau Dir eventuell noch mal die Regel von Sarrus an.
Snaff Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für den Hinweis.
Ich hab meinen Rechenweg für die Determinante von C mal aufgeschrieben.

Meine Berechnung der Determinante von C:

(1 * y * y) + (1 * 0 * 1) + (2 * 0 * 1) - (1 * y * 2) - (1 * 0 * 1) - (y * 0 * 1)
(1 * y * y) + 0 + 0 - (1 * y * 2) - 0 - 0
(1 * y * y ) - (1 * y * 2)
y^2 - 2y = 0

y1= 0?
y2 = -2?
Das wären fast die Lösungen die ich durch angucken der Matrix raus hatte.
Für diese Werte wäre die Matrix injektiv.
Ich habe in der Aufgabenstellung bei
Zitat:
Ist die Abbildung für diese Werte umkehrbar.
das Fragezeichen vergessen.
Die Antwort wäre da also nein. Die Abbildung ist für diese Werte nicht umkehrbar.



Ja, du hast recht, ich verstehe das mit den besonderen Abbildung nicht richtig. Ich hab nur eine Notiz dazu, die ich einfach stumpf abarbeite, weil ich mir nichts darunter vorstellen kann.
Meine Notiz:
Zitat:
Injektivität: Wenn alle Spalten linear unabhängig sind bzw. Dim(Kern) = 0 ist
Surjektivität: Wenn Rang der Matrix = der Dimension der Abbildungsmatrix
Bijektivität: Wenn die Abbildungsmatrix eine Inverse hat bzw. regulär ist. Eine Matrix hat eine Inverse falls ihre Determinante ungleich 0 ist.

Das beudetet also, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ist die Abbildung immer bijektiv.
Aber dann kann bei quadratischen Matrizen garkeine surjektive Abbildung vorkommen oder sehe ich das falsch.
Die Determinante ist entweder = 0 dann gilt: rang(A) < n und das bedeutet das die Abbildung nicht surjektiv sein kann, da Surjektivität die Bedingung rang(A) = n hat.
oder die Determinante ist =/= 0 dann gilt: es existiert eine Inverse -> die Abbildung ist biijektiv.

Es kann auch sein das meine Notiz fehlerhaft ist.
Ich kapituliere unglücklich


LG

Snaff
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