Differentialgleichung 1. Ordnung

23.02.2014, 20:31

Veysel1990

Differentialgleichung 1. Ordnung

Meine Frage:
Ich muss das folgende Anfangswertproblem lösen und dazu noch den maximalen Definitionsbereich angeben:

$\begin{eqnarray*} t(3+2y)y'=y(2+y) \end{eqnarray*}$ , wobei y(1)=1 ist.

Meine Ideen:
Ich habe die Gleichung durch Umformen vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3+2y)y'}{y(2+y)}=t \end{eqnarray*}$

Danach habe ich durch Integrieren und Partialbruchrechnung folgende Stammfkt. bekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! {(3+2y)y'}/{y(2+y)} \, dy = \int_a^b \! t \, dt \end{eqnarray*}$
===>
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} ln(y)+\frac{1}{2}ln(2+y)=\frac{1}{2}t^{2}+c \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber diese Gleichung nach y auflösen will, bekomme ich das irgendwie nicht hin. Vielleicht habe ich auch vorher schon einen Fehler begangen und merke es nicht. Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich weiterfahren muss?

23.02.2014, 21:58

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Veysel1990
Ich habe die Gleichung durch Umformen vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3+2y)y'}{y(2+y)}=t \end{eqnarray*}$

Hast du nicht.

24.02.2014, 13:33

Veysel1990

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
hmm ok verwirrt

Habe ich falsch umgeformt oder muss ich die Gleichung anders angehen?

Denn am Schluss muss ich doch so etwas ähnliches bekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dy}{y} \, = \int_a^b \! \, dt \end{eqnarray*}$

Vielleicht stehe ich auch irgendwo auf dem Schlauch und die Aufgabe ist einfachr als ich denke, kannst du mir einen Tipp geben?

24.02.2014, 13:52

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Veysel1990
Habe ich falsch umgeformt

Dieser Frage solltest du aufgrund des Hinweises mal nachgehen. smile

24.02.2014, 15:33

Veysel1990

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
habe ich ja übeprüft Augenzwinkern

bin aber jetzt erst nach dem x.-mal hoffentlich auf die richtige Umformung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(3+2y)dy}{y(2+y)} \, = \int_a^b \! \frac{dt}{t} \, \end{eqnarray*}$

Ich hoffe dieses mal stimmt es? In de Zwischenzeit versuche ich mal mit dieser Lösung weiterzurechnen Lehrer

24.02.2014, 15:48

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
OK. Die Integrationsgrenzen läßt du entweder weg oder du mußt die korrekten Werte verwenden.

24.02.2014, 18:05

Veysel1990

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
danke. ja, die integrationsgrenzen muss man eben leider im formeleditor drin lassen, sonst geht das ganze nicht.. muss sie einfach wegdenken=)

Nun habe ich weitergerechnet und komme durch Partialbruchrechnung auf folgendes Ergebnis und komme da nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}ln(y)+\frac{1}{2}ln(2+y)=ln(t)+c \end{eqnarray*}$

Ich kann das Ganze nicht nach y auflösen.. Habe ich bei der Partialbruchzerlegung einen Fehler begangen?

25.02.2014, 08:43

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Veysel1990
die integrationsgrenzen muss man eben leider im formeleditor drin lassen, sonst geht das ganze nicht.

Wieso denn das? Laß sie doch einfach raus aus dem Latexcode. smile

Zitat:

Original von Veysel1990
Ich kann das Ganze nicht nach y auflösen.

Multipliziere die Gleichung mit 2 und wende dann die e-Funktion an. Augenzwinkern

26.02.2014, 00:28

Veysel1990

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Sorry, konnte erst jetzt zurückschreiben Tanzen

Naja, heute haben wir mitbekommen, dass es einen Tippfehler in der Aufgabe gab, nämlich ist es nicht 3+2y sondern 2+2y Buschmann

Wie dem auch sei, ich habe mal mit den richtigen Angaben weitergerechnet und bin schlussendlich auf dieses Ergebnis gekommen(durch Partialbruch(A=1&B=1) und Integrieren wie vorhin):

$\begin{eqnarray*} ln(2y+y^{2})=ln(t)+c1 \end{eqnarray*}$

Danach die e-fkt benutzt:

$\begin{eqnarray*} 2y+y^{2}=t*c \end{eqnarray*}$

Doch wie kann ich jetzt das Ganze nach y auflösen???

Habe ich vielleicht schon vorher einen Fehler gemacht, den ich übersehen habe?

26.02.2014, 10:52

klarsoweit

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Also eine quadratische Gleichung in y sollte sich ggf. mit geeigneten Fallunterscheidungen nach y auflösen lassen.

26.02.2014, 14:57

Veysel1990

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hmm das verstehe ich jetzt nicht ganz:

also ich kann jetzt das Ganze mal in Klammern setzen:

$\begin{eqnarray*} y(2+y)=t*c \end{eqnarray*}$

Jetzt wie meinst du das mit der geeigneten Fallunterscheidung?

y>0; y<0 und y=0 ? Lehrer

Danke mal im Voraus=)

26.02.2014, 16:36

Mulder

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pq-Formel?

26.02.2014, 21:51

Veysel1990

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ok, danke für den Tipp, bin jetzt endlich auf die Lösung gekommen Freude

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