Näherungslösung mit Taylorpolynom bestimmen

23.02.2014, 23:46

HightronicDesign

Näherungslösung mit Taylorpolynom bestimmen

Meine Frage:
Hallo.

Folgende Aufgabenstellung:

Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$ in ein Taylor-Polynom 4. Ordnung und bestimmen Sie damit die Näherungslösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ok, ich habe f(x) also 4 mal abgeleitet und die Ableitungen habe ich versucht in die Gleichung für Taylor Polynome einzusetzen. Nur was mache ich mit den $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2} \end{eqnarray*}$ ?

24.02.2014, 10:32

Che Netzer

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RE: Näherungslösung mit Taylorpolynom bestimmen
Ausgeschrieben bedeutet $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ ja nichts weiter als $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{x^2}=2x^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{x^2} \end{eqnarray*}$ hast du jetzt eine Approximation durch ein Polynom $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ . Löse also $\begin{eqnarray*} P(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ , um eine Näherungslösung der angegebenen Gleichung zu erhalten, denn für eine solche Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{x_0^2}\approx P(x_0)=2x^2_0 \end{eqnarray*}$ .

Bist du dir aber sicher, dass die Aufgabenstellung richtig ist?

24.02.2014, 14:54

lego

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RE: Näherungslösung mit Taylorpolynom bestimmen

Zitat:

Original von Che Netzer
Bist du dir aber sicher, dass die Aufgabenstellung richtig ist?

Berechtigte Frage, laut Wolfram Alpha hat die Gleichung im reellen keine Lösungen

24.02.2014, 19:35

HightronicDesign

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Ja ich bin mir sicher das die Aufgabenstellung richtig ist, ich hab diese Aufgabe bei meiner letzten Mathe Prüfung bekommen und nicht gerade lösen können.

[attach]33360[/attach]

24.02.2014, 22:38

HightronicDesign

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Hab auch noch ein weiteres Beispiel in dem ich f(x) = sin(2x) als Funktion habe und das Taylor Polynom 3.Ordnung bilden soll, und damit soll ich die Näherungslösung(en) für die Gleichung f(x) = x bestimmen.

Ich weiss echt nicht wie ich das anstellen soll , weil 3 mal Ableiten ist ja kein Problem aber wenn ich das habe und in die Gleichung für die Taylor Polynome einsetzen möchte weiss ich nicht was ich für a und was ich für x einsetzen soll ?! Hammer

Bei dieser Formel :

[attach]33367[/attach]

24.02.2014, 22:50

Dopap

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Es ist natürlich nicht die beste Art eine transzendente Gleichung dadurch zu lösen, indem man eine Seite in einem Taylorpolynom entwickelt. Macht man dieses zu genau gibt es wiederum keine exakte Lösung.
Sauber ist da eher, gleich mittels Newton die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g(x)=\sin(2x)-x=0 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Aber egal:

1.) a=0 ( Entwicklunspunkt ist 0)
2.) x hat keinen Wert, du brauchst doch eine Variable !!!

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