Stetigkeit lineare Abbildung zwischen unendlichdimensionalen VR

24.02.2014, 09:41

ohokay

Stetigkeit lineare Abbildung zwischen unendlichdimensionalen VR

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe ist zu lösen.
Man zeige, dass die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} D: (C^1([0,1]),||\cdot||) \to (C^0([0,1]),||\cdot||_{\infty}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D(f)=f' \end{eqnarray*}$ stetig ist. Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray*} (C^1([0,1]),||\cdot||) \end{eqnarray*}$ den Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} ||f||:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (C^1([0,1]),||\cdot||) \end{eqnarray*}$ den Vektorraum der stetigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich möchte die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ||f_n -f||=||f-f_n||_{\infty} +||f'-f'_n||_{\infty}<\epsilon \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ||f'-f'_n||_{\infty}<\epsilon -||f-f_n||_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} ||D(f)-D(f_n)||_{\infty} =||f'-f'_n)||_{\infty} <\epsilon -||f-f_n||_{\infty} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ .
Kann man das so machen? Ich bin mir da gerade ganz und gar nicht sicher.

Danke für eure Hilfe.

24.02.2014, 10:22

Che Netzer

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RE: Stetigkeit lineare Abbildung zwischen unendlichdimensionalen VR

Zitat:

Original von ohokay
Ich möchte die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium zeigen.

Ginge zwar, aber ich würde lieber die Beschränktheit der Abbildung nachweisen (also $\begin{eqnarray*} \lVert Df\rVert_\infty\leq C\lVert f\rVert \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ und eine Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zeigen).

Zitat:

Sei also $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Das ist nicht die Konvergenz in $\begin{eqnarray*} C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 11:17

ohokay

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Gilt hier $\begin{eqnarray*} Df=f' \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ eine Schranke.

Zitat:

Das ist nicht die Konvergenz in $\begin{eqnarray*} C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ .

Was wäre denn die Konvergenz?

24.02.2014, 11:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von ohokay
Gilt hier $\begin{eqnarray*} Df=f' \end{eqnarray*}$ ?

Ja, so wurde $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ eine Schranke.

Genau.

Zitat:

Das ist nicht die Konvergenz in $\begin{eqnarray*} C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ .

Was wäre denn die Konvergenz?

Konvergenz in der Norm. Also gleichmäßige Konvergenz von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 12:13

ohokay

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Also ist $\begin{eqnarray*} ||Df||_{\infty} \leq ||f|| \end{eqnarray*}$ . Also wähle zu $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} ||f-g||< \delta \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} ||Df-Dg||_{\infty}=||D(f-g)||_{\infty} \leq ||f-g||<\delta =epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist somit stetig.

24.02.2014, 12:21

Che Netzer

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Ja, das zeigt sogar gleichmäßige Stetigkeit.

Aber anscheinend habt ihr die Äquivalenz von Beschränktheit und Stetigkeit linearer Abbildungen zwischen normierten Räumen noch nicht behandelt. Aus
$\begin{eqnarray*} \lVert Df-Dg\rVert_\infty\leq\lVert f-g\rVert \end{eqnarray*}$
kann man auch direkt die Lipschitz-Stetigkeit ablesen.

24.02.2014, 12:27

ohokay

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Ja das stimmt. Vielen Dank! Wink

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