Bruchungleichungen/Fallunterscheidung

24.02.2014, 14:30

Allowed

Bruchungleichungen/Fallunterscheidung

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,

Ich habe momentan das Thema Bruchungleichungen, Bruchgleichungen habe ich gerade so noch hinbekommen zu verstehen, da jedoch unser Mathelehrer so ziemlich immer kontra gegen uns arbeitet verstehe ich aber die Bruchungleichnungen nun überhaupt nicht.

z.B. folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{x+2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

Durch die Fallunterscheidung bin ich jetzt komplett durcheinander gekommen wie ich das ganze jetzt lösen soll.

Meine Ideen:
Na ja... toll wäre wenn ich eine hätte.

Ich weiß das es ungefähr wie Bruchgleichungen abläuft, aber die Fallunterscheidungen haben mich da wieder komplett weggehauen.

24.02.2014, 14:31

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Warum müssen wir denn eine Fallunterscheidung machen? Augenzwinkern

24.02.2014, 14:41

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Erstmal danke für deine Antwort,

Fallentscheidungen sind ja dafür da um zu bestimmen ob der Hauptnenner positiv oder negativ ist.

24.02.2014, 15:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Ok, fast richtig. Wir wissen ja noch nicht, ob er negativ oder positiv ist. Da wir aber mit ihm die Bruchgleichung multiplizieren wollen, müssen wir da eine Fallunterscheidung machen.

Definitionsmenge zuerst bestimmen.
$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb R \setminus \{-2\} \end{eqnarray*}$

Dann müssen wir die Frage klären, wie sich Ungleichungen bei Multiplikation mit positiven bzw. negativen Zahl verhalten. Das führt auf die Fälle
$\begin{eqnarray*} x+2 > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+2 < 0 \end{eqnarray*}$ .

Was passiert denn, wenn wir eine Bruchgleichung mit einem negativen Term multiplizieren?

24.02.2014, 15:12

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Die Zeichen werden invertiert wenn ich mich nicht irre....

24.02.2014, 15:16

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Sehr gut. Nun mache ich dir mal einen Fall vor. Du machst dann den anderen, und beachtest, was du gerade gesagt hast.

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{x+2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x+2> 0 \Leftrightarrow x > -2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} 10 \geq 3(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{3} \geq x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{3} - 2 \geq x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \geq x \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge dieses Fall ist dann $\begin{eqnarray*} L = ]-2,\frac{4}{3}] \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 15:33

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung
Also müsste es in diesem Fall so gehen(Hoffe ich)
Ansonsten wären die Zwischenschritte ganz nett.

$\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 \leq 3(x+2) \end{eqnarray*}$ // Mit dem Hauptnenner multiplizieren

$\begin{eqnarray*} 10 \leq 3x + 6 \end{eqnarray*}$ // 6 nach links also - 6

$\begin{eqnarray*} 4 \leq 3x \end{eqnarray*}$ //durch 3x ???

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \leq x \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mein Lösungsansatz ist so richtig....

24.02.2014, 15:41

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bruchungleichungen/Fallunterscheidung

Zitat:

Original von Allowed

$\begin{eqnarray*} x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -2 \end{eqnarray*}$

Genau, das ist die erste Bedingung, die sich aus der Fallunterscheidung ergibt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 10 \leq 3(x+2) \end{eqnarray*}$ // Mit dem Hauptnenner multiplizieren

Richtig, und der ist nun kleiner 0, daher Ungleicheitszeichen umdrehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 10 \leq 3x + 6 \end{eqnarray*}$ // 6 nach links also - 6

korrekt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 4 \leq 3x \end{eqnarray*}$ //durch 3x ???

Nein, nur durch 3, wir wollen ja das x isolieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \leq x \end{eqnarray*}$

Das ist nun die zweite Bedingung. Nun ist die Frage, ob es ein x gibt, das kleiner als -2 ist und zugleich größer als 4/3. Was meinst du?

24.02.2014, 15:50

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube wohl eher nicht.

24.02.2014, 15:55

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Daher ist die Lösungsmenge im Fall 2 leer. Zusammen haben wir dann als Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = ]-2,\frac{4}{3}] \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe nun einmal bildlich. Zur Lösungsmenge gehört der Bereich, für den der rote Graph oberhalb des grünen verläuft.

24.02.2014, 16:02

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, vielen Dank, so einfach kann es doch sein wenn es auch gut erklärt wird.

Also ist die Lösungsmenge bildlich sowie schriftlich dargestellt also fallend bzw. negativ?

Ansonsten,
Vielen, vielen herzlichen dank. Freude

Mit freundlichen Grüßen,

Allowed

24.02.2014, 16:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Begriffe wie fallend solltest du da nicht verwenden. Das Bild sollte nur den x-Achsenbereich verdeutlichen, wo die Ungleichung erfüllt ist.

Hast du es verstanden, oder sollen wir noch eine Aufgabe machen?

24.02.2014, 16:06

Allowed

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, achso, verstehe was gemeint sein soll.

Im Prinzip sollte ich es jetzt verstanden haben, falls ich nochmal Probleme dabei haben sollte werde ich mich in diesem Thread nochmal melden.

24.02.2014, 16:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Bruchungleichungen/Fallunterscheidung

Verwandte Themen