ausgezeichnetes Frenet-3-Bein

24.02.2014, 15:33	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
ausgezeichnetes Frenet-3-Bein Hallo Ich möchte gerne das frenet-3-Bein ( $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ ) zur Kurve $\begin{eqnarray} c(t)=(6t,3t^2,t^3) \end{eqnarray}$ berechnen. Als vorgehensweise habe ich das Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren verwendet. Allerdings wird das ganze bei $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ schon relativ unübersichtlich und $\begin{eqnarray} e_1 \times e_2 = e_3 \end{eqnarray}$ ist viel Schreibarbeit. Nun kann ich aber auch $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ direkt mit $\begin{eqnarray} e_3 = \frac{c' \times c''}{\\| c' \times c'' \\|} \end{eqnarray}$ berechnnen, was wesentlich schneller geht. Neben $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ habe ich nun $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ und kann mit $\begin{eqnarray} e_1 \times e_3=e_2 \end{eqnarray}$ , meines erachtens mit weniger schreibarbeit, das Dreibein berechnen. $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ ist hier das Kreuzprodukt. Kann ich das so machen? Vielen Dank für eure Hilfe Edit: Habe die falsche Kurve abgetippt, habe ich oben verbessert.
25.02.2014, 16:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist eine Raumkurve $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von irgendeinem Parameter t (also nicht in Abhängigkeit von der Bogenlänge s). Ein Frenet-Dreibein setzt sich zusammen aus folgendenden 3 senkrechten Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec t=\tfrac{d\vec x}{ds} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec n=\tfrac{d\vec t}{ds}/\|\tfrac{d\vec t}{ds}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec b=\vec t\times \vec n \end{eqnarray}$ . --------------------------------- 1.Schritt: Berechne $\begin{eqnarray} \vec t=\tfrac{d\vec x}{ds} \end{eqnarray}$ : Mit der Kettenregel folgt $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt}=\tfrac{d\vec x}{ds}\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ . Daraus wird wegen $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\sqrt{\left ( \tfrac{dx}{dt}\right )^2+\left ( \tfrac{dy}{dt}\right )^2+\left ( \tfrac{dz}{dt}\right )^2}=\sqrt{(6)^2+(6t)^2+(3t^2)^2} \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} \vec t=\tfrac{d\vec x}{ds}=\tfrac{\tfrac{d\vec x}{dt}}{\sqrt{(6)^2+(6t)^2+(3t^2)^2}} \end{eqnarray}$ --------------------------------- 2.Schritt: Berechne $\begin{eqnarray} \vec n=\tfrac{d\vec t}{ds}/\|\tfrac{d\vec t}{ds}\| \end{eqnarray}$ : Miit der Kettenregel folgt zuerst die Ableitung nach dem Parameter t, also $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec t}{dt}=\tfrac{d\vec t}{ds}\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ . Daraus wird wegen $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\sqrt{(6)^2+(6t)^2+(3t^2)^2} \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec t}{ds}=\tfrac{\tfrac{d\vec t}{dt}}{\sqrt{(6)^2+(6t)^2+(3t^2)^2}} \end{eqnarray}$ Bilde davon den Betrag und du bekommst $\begin{eqnarray} \vec n=\tfrac{d\vec t}{ds}/\|\tfrac{d\vec t}{ds}\| \end{eqnarray}$ -------------------------------------- 3.Schritt: Bilde das Kreuzprodukt und du bekommst $\begin{eqnarray} \vec b=\vec t\times \vec n \end{eqnarray}$
28.02.2014, 18:01	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ethos hat etwas länger gedauert. Deine Ausführung sind mir bekannt. Aber genau so, wolte ich es nicht tun. Meine Frage ist, ob ich $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ direkt und nur mit Hilfe der ersten beiden Ableitungen berechnen kann ohne dass ich den Zwischenschritt über $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ gehen kann. Sodass ich erst zum Schluss $\begin{eqnarray} \vec b\times\vec t= \vec n \end{eqnarray}$ berechnen kann. Scheinbar geht das, habe is mittlerweile für mehrere Aufgaben so gemacht. Danke für deine Hilfe

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