Matrixprodukt mit Standardmatrix

24.02.2014, 17:15	M.J.Foxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixprodukt mit Standardmatrix Meine Frage: Hallo Leute, Bin bei folgender Aufgabenstellung völlig ratlos: Man bezeichnet mit $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ die Standardmatrix, die eine 1 an der Stelle (i, j) hat und deren anderen Einträgen alle gleich Null sind. 1. Sei $\begin{eqnarray} A= (a_{i,j}) \end{eqnarray}$ eine quadratische Matrix. Berechne die Matrixprodukte $\begin{eqnarray} AE_{ij} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_{ij}A \end{eqnarray}$ . Beschreibe das Ergebnis in Worten. 2. Finde alle Matrizen $\begin{eqnarray} A \in M_{n}(K) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} AM = MA \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} M \in M_{n}(K) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: 1. Das Ergebnis ist gleich ob ich $\begin{eqnarray} AE_{ij} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} E_{ij}A \end{eqnarray}$ rechne, wenn die Standardmatrix auch quadratisch ist, ist sie jedoch nicht quadratisch sind die Produkte unterschiedlich. Odernliege ich bereits bei dieser Überlegung falsch? 2. Ich weiss hier überhaupt nixht wie ich vorgehen soll. LaTeX-Tags eingefügt. Steffen
24.02.2014, 17:45	Snaff	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich kann dir zwar keine qualifizierte Antwort geben aber ich lerne momentan für das selbe Thema. Ich würde die Aufgabe so beantworten. Zu 1.) Würde ich sagen: Die Matrizenmutliplikation ist zwischen einer Einheitsmatrix und einer quadratischen Matrix kommutativ(Wenn gleich groß) Zu 2.) Würde ich sagen: Es gilt für Matrizen die mit der Einheitsmatrix(wenn gleich groß) oder mit ihrer Inversen mutlipliziert werden. Das kann aber auch falsch sein. Ich hoffe ich habe keinen Blödsinn geschrieben LG Snaff
24.02.2014, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Snaff Blödsinn ist das nicht, aber falsch. Das entspricht sehr schön deiner Matheregel Nummer 1. @M.J.Foxx $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ muss ebenso wie $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine nxn-Matrix sein, sonst kann man die beiden Matrizen nicht von links und rechts miteinander multiplizieren. Dasselbe gilt in Teil b) für $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Bei a) ist das schon nicht so einfach, denn z.B. $\begin{eqnarray} \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}\begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} c & d \\ 0 & 0 \end {pmatrix}\ne \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix}\begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei b) ist zu beachten, dass 1x1-Matrizen immer kommutieren. $\begin{eqnarray} A=\lambda E \end{eqnarray}$ tut's für beliebige nxn-Matrizen.

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