Poissongleichung auf dem Zylinder

25.02.2014, 01:12	Bernhard1	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissongleichung auf dem Zylinder Ich bräuchte aktuell Hilfe bei der folgenden Übungsaufgabe: Gesucht ist das Potential als Lösung der folgenden zweidimensionalen Poissongleichung: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} = 4\pi \delta (\vec{x}) \end{eqnarray}$ Damit die Lösung eindeutig wird, sollen die folgenden Randbedingungen gelten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial \Phi}{\partial x}\|_{x=L/2}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{y \rightarrow \infty}\Phi = 0 \end{eqnarray}$ Die Lösung soll zusätzlich spiegelsymmetrisch zur x- und y-Achse sein und ist für $\begin{eqnarray} \vec{x}\neq 0 \end{eqnarray}$ definiert. Für $\begin{eqnarray} \vec{x}= 0 \end{eqnarray}$ sollte die Lösung divergieren (?), damit der Laplace-Operator die Deltafunktion im Ursprung liefert. Ein Separationsansatz mit Legendre-Polynomen hilft hier meiner Meinung nach nicht weiter, wegen des Pols im Ursprung. Wäre dankbar für jede Idee dazu. MfG EDIT: Ich werde voraussichtlich mal eine Fourierzerlegung in x-Richtung ausprobieren.
25.02.2014, 10:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe entspricht folgendem Sachverhalt: Gegeben ist ein unendlich großes Blech, wobei sich am Nullpunkt (x,y)=(0,0) eine punktförmige Wärmequelle befindet. Von dort breitet sich die Wärme über das Blech aus. An der Geraden x=L/2 befindet sich eine linienförmige Wärmebarriere, durch welche die Wärme nicht hindurchströmen kann. Praktisch könnte man diese Barriere durch Abschneiden des Bleches entlang der Geraden x=L/2 realisieren. Gesucht ist die stationäre Wärmeverteilung in der sog. Halbebene (also links von der Schnittkante x=L/2). Bei derartigen Aufgaben verwendet man folgenden Trick (=Spiegelladungsmetode): Um die Randbedingung an der Schnittkante x=L/2 zu befriedigen, betrachtet man das gesamte Blech, welches die xy-Ebene vollständig ausfüllt. Rechts der Geraden x=L/2 denkt man sich eine zweite punktförmige Wärmequelle am Ort (x,y)=(L,0), welche folglich bezüglich der Geraden x=L/2 spiegelsymmetrisch zur ersten Wärmequelle (x,y)=(0,0) liegt. Durch diese symmetrische Anordnung beider Wärmequellen links und rechts der Geraden x=L/2 hat man automatisch erreicht, dass keine Wärme mehr durch diese Gerade x=L/2 strömt. Damit ist also die Randbedingung an der Schnittkante wie von selbst erfüllt! Anschaulich ist klar, dass die Wärmeverteilung aufgrund der symmetrischen Anordnung der 2 Wärmequellen symmetrisch zur x- und y-Achse sein muss. Zu lösen ist also folgende Aufgabe (ohne Randbedingungen) $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\tfrac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}=4\pi \delta (x)\delta (y)+4\pi \delta (x-L)\delta (y) \end{eqnarray}$ Für die Lösung dieser Aufgabe informiere dich unter http://www.asc.tuwien.ac.at/~juengel/scripts/PDE.pdf, Seite 33, Kapitel: "Die Greensche Funktion für die Halbebene" Dort wird die Spiegelladungsmethode nochmals erläutert.
02.03.2014, 12:46	Bernhard1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ehos! Ich konnte die Lösung nachvollziehen. Manchmal kommt man einfach mit der Notation oder dem Stil eines Lehrbuches nicht zurecht und da sind dann Alternativen wirklich hilfreich . MfG

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