Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung

25.02.2014, 12:07

Jade93

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Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung

Meine Frage:
Hallo Leute! Ich mache grad komplexe Zahlen, Schwingungen und so. Und habe Problem bei dieser Aufgabe. Ich versteh den Anstaz nicht, deswegen kann ich sie auch nicht rechnen unglücklich

unglücklich

Meine Ideen:
Also, ganz profan abgelesen steht da sowas wie:
cos der negativen Winkelgeschwindigkeit in der Zeit + sin mit der negativen Winkelgeschwindigkeit in der Zeit - die 8. Wurzel aus cos mit der Winkelgeschwindigkeit in der Zeit im pi/4 (45°). cos(x) = Realteil e^jx. Also soll es die Polarform darstellen.
Ich soll nun es wohl in diese kartesische Form,
y(t) = Amplitude cos (wt+p). Das ist die harmonische Schwingung (Jaaa, so viel dazu). Nun sollen diese bedingungen gelten.. Ich weiß jetzt aber nicht wie ich das rechnen soll. Ich würde aber damit anfangen die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit in Abhängigkeit von dem Winkel phi setzen.. Omega = dphi/dt.. aber ich glaub nicht, dass es mich grad weiterbringen wird.. traurig

traurig

25.02.2014, 13:12

Steffen Bühler

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RE: Verständnisproblem bei Komplexe Zahlen Aufgabe
Ich würde es mir einfach machen und mit dem Wissen $\begin{eqnarray*} \sin x = \cos ( \frac { \pi }2 - x) \end{eqnarray*}$ alle drei Terme auf cos bringen und dann addieren.

Viele Grüße
Steffen

25.02.2014, 13:19

Jade93

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RE: Verständnisproblem bei Komplexe Zahlen Aufgabe
na dieses Wissen hätte ich auch gerne Big Laugh

Big Laugh

Das ganze versteh ich so nicht, ehrlich gesagt.. verwirrt

verwirrt

sin(x) = pi/2 und -sin(x) = 3/2pi
cos(x) = 2pi und -cos(x) = pi
Damit kann ich ja noch was anfangen...

25.02.2014, 13:23

Steffen Bühler

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RE: Verständnisproblem bei Komplexe Zahlen Aufgabe
Es werden ja drei Cosinus-Schwingungen gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplitude und Phase addiert. Dann kann man die cos-Schwingung "rausziehen" und nur die Amplituden und Phasen komplex addieren.

EDIT auf Dein EDIT: die cos-Schwingung ist eine um pi/2 verschobene sin-Schwingung. Dieses "Wissen" reicht aus.

25.02.2014, 13:44

HAL 9000

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@Jade93 (leicht off-topic)

Das Vorlesen von Formeln musst du noch üben: $\begin{eqnarray*} \omega t \end{eqnarray*}$ ist für mich eher "Winkelgeschwindigkeit mal Zeit", nun Ok. Gravierender ist aber dein "die 8. Wurzel aus cos ...", denn das bedeutet $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{\cos(\ldots)} \end{eqnarray*}$ . Zum Glück hast du noch die wirkliche Formel angegeben, da steht aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}\cdot \cos(\ldots) \end{eqnarray*}$ , was gesprochen "(Quadrat-)Wurzel aus 8 mal Kosinus von ..." bedeutet!!!

Im Zweifelsfall lass das Vorlesen sein, und gib wirklich nur die Formel an, dazu ist die Formelsprache ja erfunden worden - zumal evtl. Klammern beim Vorlesen auch öfters zu kurz kommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2014, 13:54

Jade93

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ja stimmt schon.. so wirklich weiter komm ich mit der Aufgabe aber trotzdem nicht

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25.02.2014, 14:13

Steffen Bühler

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Die erste Schwingung ist $\begin{eqnarray*} \cos (- \omega t) \end{eqnarray*}$ . Amplitude 1, Phase Null. Ok?

Die zweite ist $\begin{eqnarray*} \sin (- \omega t) = \cos ( \frac { \pi }2 + \omega t ) \end{eqnarray*}$ . Amplitude 1, Phase $\begin{eqnarray*} \frac { \pi }2 \end{eqnarray*}$ . Ok?

Jetzt Du.

25.02.2014, 14:28

Jade93

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achsooo

geschockt

weil nach der Formel $\begin{eqnarray*} sin(x)= cos(x) ( \frac{\pi }{2} - x) \end{eqnarray*}$ ... ergibt bei der vorgegbenen Gleichung $\begin{eqnarray*} sin (-wt) = cos \frac{\pi }{2} +wt \end{eqnarray*}$ . Minus + Minus ergibt Plus. Das x ist das Omega t, richtig?

25.02.2014, 14:29

Steffen Bühler

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Ja (von ein paar fehlenden Klammern abgesehen).

Was ergibt nun der dritte Term?

25.02.2014, 14:43

Jade93

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naja... das ist ja recht einfach... $\begin{eqnarray*} - \sqrt{8}cos*e^{j\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} - Realteil von \sqrt{8}*e^{j\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$ wenn man das zusammenfassen würde...
berichtigt mich wenn ich falsch liege. Hammer

Hammer

25.02.2014, 14:49

Steffen Bühler

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Lass das mit der e-Funktion mal weg, so ist die Formel nämlich alles andere als richtig.

Es geht aber nur darum, dass Du siehst, dass die Schwingung $\begin{eqnarray*} - \sqrt{8} \cdot \cos ( \omega t + \frac { \pi} 4 ) \end{eqnarray*}$ auch nichts anderes als eine Cosinus-Schwingung ist, mit einer Amplitude (welcher?) und einer Phasenverschiebung (welcher?).

Viele Grüße
Steffen

25.02.2014, 15:04

Jade93

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aus der Physik weiß ich noch, dass die Amplitude eng in Verbindung mit der Kreisfrequenz verzahnt ist. Das ist also das Omega. Also zB: w = 2pi*f. Die Phasneverschiebung ist eindeutig das mit dem Pi. Diese soll ja zwischen -pi und + pi liegen... weiß jetzt nicht so recht was mit dem -pi anzufangen. +Pi liegt doch bei 180°. -Pi ist dann gegenüber?

25.02.2014, 15:11

Steffen Bühler

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Nein, die Amplitude ist der "Ausschlag" einer Schwingung. Bei cosx ist das Eins, bei -cosx auch, bei 42cosx ist es 42, bei 1234cos(x+42) ist es 1234. Ok?

Die Phasenverschiebung ist in der Tat das, was im Argument des cos noch additiv dazukommt. Bei cos(x+1) ist es Eins, bei cos(x-4) ist es -4.

Und auch wenn Du zu Euler ein eher gespanntes Verhältnis zu haben scheinst, hier ist er Dein Freund. Wenn Du nämlich einen Schwung Cosinus-Schwingungen addieren musst, hast Du das entweder grafisch (bäh!) oder mit Additionstheoremen (igitt!) gemacht. Nun aber nimmst Du einfach die einzelnen Amplituden und Phasen, machst daraus komplexe Zahlen und addierst sie. Das ergibt wieder eine Amplitude und Phase, und das ist genau das, was bei dieser Aufgabe gefordert ist.

Also: bis jetzt hast Du zwei Amplituden und zwei Phasen. Wir brauchen noch das dritte Pärchen.

25.02.2014, 15:14

Jade93

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"dritte Pärchen"?

25.02.2014, 15:18

Steffen Bühler

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Das dritte Pärchen Amplitude und Phasenverschiebung.

Was hat $\begin{eqnarray*} f(x) = - \sqrt{8} \cdot \cos ( \omega t + \frac { \pi} 4 ) \end{eqnarray*}$ für eine Amplitude und Phasenverschiebung, bezogen auf f(x)=cosx?

25.02.2014, 15:22

Jade93

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Also... ich habe mich schon damit auseinandergesetzt.. mit der Verschiebung und so:

$\begin{eqnarray*} cos(wt) - cos(wt -\frac{\pi }{2} ) - \sqrt{8} cos (wt+\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$

Das habe ich bis jetzt..

25.02.2014, 15:27

Steffen Bühler

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Ah, prima. Dann nehmen wir die uns mal vor.

Der coswt ist klar: Amplitude 1, Phase 0.

Der -cos(wt-pi/2) hat auch Amplitude 1, Phase -pi/2+pi. Warum? Weil das Minuszeichen (wie Du vorhin schon richtig geschrieben hast) die Phase um pi erhöht.

Jetzt Du.

25.02.2014, 15:36

Jade93

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Naja, der entscheidene Unterschied scheint doch die Wurzel 8 zu sein. Ist das nicht der Betrag? Also wenn ich sowas habe wie $\begin{eqnarray*} 8(cos{\alpha } \end{eqnarray*}$ ) so enthält es doch den Wert des Realteils oder nicht? Ich steh da etwas auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

25.02.2014, 15:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jade93
Naja, der entscheidene Unterschied ischeint doch die Wurzel 8 zu sein. Ist das nicht der Betrag?

Sehr gut! Und die Phase?

25.02.2014, 15:39

Jade93

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Jade93
Naja, der entscheidene Unterschied ischeint doch die Wurzel 8 zu sein. Ist das nicht der Betrag?

Sehr gut! Und die Phase?

45° in mathematisch positivem Uhrzeigersinn

25.02.2014, 15:40

Steffen Bühler

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Fast. Denk ans Minuszeichen.

25.02.2014, 15:41

Jade93

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achso, ja stimmt. Andere Richtung..

25.02.2014, 15:42

Steffen Bühler

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Genau. Und nun addiere die drei komplexen Zahlen.

Das kannst Du sogar im Kopf, wenn Du Dir sie als Zeiger in der komplexen Ebene vorstellst.

25.02.2014, 15:53

Jade93

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naja ich habe einmal $\begin{eqnarray*} e^-j{\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^j{\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$

Also: Re $\begin{eqnarray*} e^{jwt} (-e^{-j\frac{\pi }{2} } - \sqrt{8}*e^{j} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ ) ??

25.02.2014, 16:00

Steffen Bühler

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Nein, Du hast drei Zahlen. Und weil Du die e-Funktion so gern hast, also dann doch mal mit der, aber richtig:

Amplitude 1, Phase 0: $\begin{eqnarray*} e ^{i \cdot 0} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Zeiger mit Länge 1 und Winkel 0°.

Amplitude 1, Phase pi/2 (Du erinnerst Dich? Plus pi wegen dem Minuszeichen): $\begin{eqnarray*} e ^{i \cdot \frac { \pi }2} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Zeiger mit Länge 1 und Winkel 90°.

Die beiden Zeiger kannst Du schon mal im Kopf addieren. Was kommt raus?

Amplitude Wurzel(8), Phase 5pi/4 (Du erinnerst Dich? Plus pi wegen dem Minuszeichen): $\begin{eqnarray*} \sqrt 8 \cdot e ^{i \cdot \frac {5 \pi }4} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Zeiger mit Länge Wurzel(8) und Winkel 225°.

Den kannst Du ebenfalls im Kopf zum vorherigen addieren. Was kommt raus?

25.02.2014, 16:03

Jade93

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I'm lost... das war wohl zu viel für mich.. ich glaub ich sollte später darauf zurückkehren unglücklich

unglücklich

Einfach die Winkel zusammnnehmen? 7/4 pi macht es dann. Also insgesamt Wurzel 8 (e^j7/4pi)
Und es war ja so, dass j mit j zusammengenommen -1 ergibt. Oder j²=-1

25.02.2014, 16:13

Steffen Bühler

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Nein, so einfach geht das dann leider doch nicht. Es ist aber auch nicht so schwer, denn es entspricht der Vektoraddition.

Ein Zeiger der Länge 3 und Winkel 0°, addiert zu einem Zeiger der Länge 4 und 90° ergibt dann z.B. einen Zeiger der Länge 5 und etwa 53°.

Was ergeben dann die beiden ersten Zeiger? Das bekommst Du im Kopf hin, glaub mir.

Alternativ müsstest Du halt die drei komplexen Zahlen in Real- und Imaginärteil zerlegen, diese jeweils getrennt addieren und aus den reellen und imaginären Summen wieder eine komplexe Zahl mit Betrag und Winkel machen.

26.02.2014, 04:13

Jade93

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wie man bei dem Beispiel auf die Länge 5 kommt ist mir klar..aber ich hab keinen Schimmer wie man die Winkel addiert! Ich komm nicht auf das Ergebnis, was soll ich im Kopf rechnen wenn 0+90 = 53 ergeben soll?!

26.02.2014, 04:36

Jade93

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mir wurde nur beigebracht wie man aus 2 vektoren den Winkel berechnet.

26.02.2014, 08:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jade93
ich hab keinen Schimmer wie man die Winkel addiert!

Oha, und dann lassen sie Dich mit komplexen Zahlen rechnen?

Kennst Du die Formel $\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac {Im(z)} {Re(z)} = \frac 43 \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2014, 09:57

Jade93

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falls es das Gleiche sein soll wie $\begin{eqnarray*} arcustangens = \frac{bj}{a} \end{eqnarray*}$ dann ja... bekomme dann auch 53 Grad raus. Abeeer... in Ihrem Beispiel sind ja die Winkel schon vorhanden. WIe mache ich das dann wenn 0° und 90° sowie der Betrag schon in Polarform gegeben sind?? Ich meine... wir haben immerhin Betragslängen mit ihren Winkeln und keine x/y Koordinaten. Der Prof hat gewarnt, dass es knifflig ist in Polarform zu rechnen.. Lehrer

Lehrer

26.02.2014, 10:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jade93
WIe mache ich das dann wenn 0° und 90° sowie der Betrag schon in Polarform gegeben sind?

Auch hier hilft uns Herr Euler:

$\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i \cdot \varphi} = r \cdot \cos \varphi + i \cdot r \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Kannst Du das auf die ersten beiden Zahlen anwenden?

26.02.2014, 10:33

Jade93

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Ah jaaa...die gute Eulersche Formel... nur hab ich das ohne dem "r" in Erinnerung. Diese Formel sollten wir UNBEDINGT auswendig lernen, aber dass man damit so addieren kann... ich meine wir haben ja 2 Beträge und müssten 2 mal cos alpha und sinus alpha benutzen. Weiß aber nicht wie man das anwendet. Ich kann das bis jetzt so mit der Addition:
$\begin{eqnarray*} z1+z2 = (x1+jy2)+(x2+jy2) = (x1+x2)+j(y1+y2) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} Re(z)=Re(z1) + Re (z2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Im (z)=Im(z1) + Im(z2) \end{eqnarray*}$
Und mit der Form a+bj kann ich Beträge und Winkel berechnen (s. oben). Dabei waren die ganzen Komplexe Zahlen z1,z2,z3,... UNABHÄNGIG voneinander, hatten nichts miteinander am Hut!
Bezogen auf die Problemstellung kann ich das so leider nicht rechnen.
Können Sie bitte nicht einfach vorrechnen? Man kann das ja im Kopf leicht rechnen oder? Aber man muss das halt kennen.. Zahlen kann man ja auch erst addieren wenn man sie Zählen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2014, 10:38

Steffen Bühler

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Die erste Zahl hatte Betrag 1 und Winkel 0, ist also $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{i \cdot 0} = 1 \cdot \cos 0 + i \cdot 1 \cdot \sin 0 = 1 + i \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Zahl hatte Betrag 1 und Winkel pi/2, ist also $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{i \cdot \frac {\pi}2} = 1 \cdot \cos \frac {\pi}2 + i \cdot 1 \cdot \sin \frac {\pi}2 = 0 + i \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Du bist wieder dran.

26.02.2014, 10:44

Jade93

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$\begin{eqnarray*} - \sqrt{8} * cos \frac{\pi }{4} + i*\sqrt{8}*sin \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

Und das muss ich jetzt in RAD-Modus rechnen, ja?

$\begin{eqnarray*} -2 + -2j \end{eqnarray*}$
richtig?

26.02.2014, 10:52

Steffen Bühler

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Ich meinte eigentlich, dass Du die ersten beiden Zahlen addieren sollst, aber meinetwegen kümmern wir uns noch um die Umwandung der dritten.

Das Ergebnis ist in der Tat richtig, aber in der Zeile vorher fehlt das Minuszeichen, das Du beim Imaginärteil des Ergebnisses stehen hast.

Nun addiere alles zusammen.

26.02.2014, 11:01

Jade93

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ok, aber zunächst änder ich die 2 Zahl um, damit es so aussieht wie bei der Aufgabe (Ergbenis bvleibt aber trotzdem gleich:
raus kommt: -1 - j1

Das bedeutet der Winkel ist: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ oder?
Obwohl, das kann ja nicht sein weil er ja so zu sehen unten links im Koordinatensystem ist. verwirrt

verwirrt

Muss ich da mit +pi addieren?

26.02.2014, 11:11

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jade93
raus kommt: -1 - j1

Richtig!

Zitat:

Original von Jade93
Das bedeutet der Winkel ist: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ oder?
Obwohl, das kann ja nicht sein weil er ja so zu sehen unten links im Koordinatensystem ist. verwirrt

verwirrt

Ja, da hast Du gut mitgedacht. Der Arcustangens ist ein bisschen doof, er weiß nicht, dass hier Realteil und Imaginärteil beide negativ sind und rechnet, also ob sie beide positiv sind. Nun, es sagt ihm ja auch keiner.

Aber wir wissen es - und die Regel ist recht einfach: wenn der Realteil negativ ist, einfach (wie Du schon schreibst) pi addieren, dann stimmt's.

26.02.2014, 11:12

Jade93

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ok, also $\begin{eqnarray*} 1\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$
Löst das jetzt die Aufgabe?
Es soll gelten A>0, w>0 und Der Winkel muss zwischen -pi und pi liegen.

26.02.2014, 11:18

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jade93
ok, also $\begin{eqnarray*} 1\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

Was soll das sein? Das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} \pi + \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Jade93
Löst das jetzt die Aufgabe?

Ja, Du bist nah dran. Du hast jetzt die Phase $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (den Betrag $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ brauchen wir noch) von der gesuchten Cosinusschwingung $\begin{eqnarray*} A \cdot \cos ( \omega t + \varphi) \end{eqnarray*}$ .

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