perfekte Gruppe Zusammenhang mit Kommutatorgruppe und auflösbar |
| 25.02.2014, 14:59 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| perfekte Gruppe Zusammenhang mit Kommutatorgruppe und auflösbar ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der perfekten Gruppe. Ich habe eine Frage dazu und noch Fragen zum Zusammenhang der perfekten Gruppe mit der Kommutatoruntergruppe und zu auflösbaren Gruppen. Habe die Fragen mal fett markiert und sonst dazugeschrieben, was ich so schon meine verstanden zu haben. Ich weiß: Eine endliche Gruppe G ist perfekt genau dann, wenn ihre Kommutatoruntergruppe G' gleich G ist. Der Kommutator gibt an, ob eine Gruppe abelsch ist oder wie sehr sie nichtabelsch ist. Ist G abelsch, dann besteht G' nur aus dem neutralen Element. Nun ist eine perfekte Gruppe das "Gegenteil" einer abelschen Gruppe bzgl. Kommutativität. Eine perfekte Gruppe ist höchstgradig nicht-abelsch. 1) Heißt das, dass für eine perfekte Gruppe gilt: ? So habe ich höchstgradig nicht-abelsch jetzt mal verstanden.. jetzt noch zum Zusammenhang der perfekten Gruppe mit der Kommutatoruntergruppe. Es ist mit dem Kommutator Es ist also mit Sicherheit die Faktorgruppe G/G' abelsch, da auf diese Weise alle nichtabelschen Elemente herausfaktorisiert werden. Außerdem ist immer G/G* abelsch, wenn G' eine Untergruppe von G* ist. Da G als perfekte Gruppe höchstgradig nichtabelsch ist, gibt es auch keine kleinere Gruppe G'', welche kleiner ist als G' sodass G/G'' abelsch ist. 2) Jetzt habe ich gelesen, dass jede perfekte Gruppe aufgrund dessen nicht auflösbar ist, verstehe aber noch nicht warum... Kann mir da jemand helfen? mein Ansatz: G' ist ein Normalteiler von G. Zudem ist G/G' abelsch. Suche nun einen Normalteiler G'' von G' sodass G'/G'' abelsch ist. Diesen müsste ich dann nicht finden. Sehe aber nicht warum nicht.. Inwiefern besteht nun ein Zusammenhang zwischen abelsch, perfekt und auflösbar? Abelsche Gruppen sind immer auflösbar, denn: Angenommen ich habe eine abelsche Gruppe G. Dann ist ein Normalteiler von G (also kann ich die Faktorgruppe bilden) und zudem ist abelsch, weil ich auf diese Weise eine Gruppe ja gerade abelsch mache und weil G sowieso abelsch ist. Perfekte Gruppen sind nicht auflösbar. (nach oben) 3) Aber wie sieht es zwischen diesen Extremen aus? Ist es jetzt so, dass eine Gruppe dann eher auflösbar ist, wenn sie eher abelsch ist? Also je höhergradig nichtabelsch eine Gruppe ist, desto weniger wahrscheinlich lässt sie sich auflösen? Und gibt es eine Schranke, der Art: Wenn eine Gruppe zu einem gewissen Grad nichtabelsch ist, dann ist sie nicht mehr auflösbar? Freue mich über eure Anmerkungen und Hilfe. lg duude edit: vergessenes Wort ergänzt |
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| 26.02.2014, 14:18 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: perfekte Gruppe Zusammenhang mit Kommutatorgruppe und auflösbar hallo, zu deiner 2. frage kann ich einiges sagen: die kommutatorgruppe K(G) von einer gruppe G ist immer auch normalteiler, und zwar der kleinstmögliche, wo die faktorgruppe G/K(G) abelsch ist. Und wenn eine gruppe perfekt ist, dann ist ja K(G)=G , und das heisst der kleinstmögliche normalteiler von G ist also G selbst, und dann kann die gruppe G nicht auflösbar sein, das ist doch logisch, nicht wahr... gruss ollie3 |
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| 26.02.2014, 14:56 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, ich habe alles verstanden, beim letzten Satz habe ich mich aber schwergetan, deshalb hier nochmal meine Begründung dazu.
Es gilt doch G/K(G)=G/G={1} ist abelsch. Außerdem gilt: Der erste Normalteiler gilt, da die triviale Untergruppe immer NT ist und der zweite Normalteiler gilt, da K(G)=G immer Normalteiler von sich selbst ist. Außerdem ist die Faktorgruppe G/K(G) abelsch (nach oben) Die Faktorgruppe K(G)/1=K(G) =G ist aber nichtabelsch, da G nichtabelsch ist. Also folgt daraus nicht, dass G auflösbar ist. Aber es könnte möglicherweise noch eine andere Reihe von Normalteilern geben, sodass G auflösbar ist. z.B. mit einem größeren Normalteiler. Nur weil eine solche Reihe schief geht, muss das noch nicht heißen, dass die Gruppe nicht auflösbar ist. Es gibt aber keine weitere solche Reihe, denn: weil K(G) der kleinstmögliche NT von G ist, gibt es keinen kleineren. Weil K(G)=G ist, gibt es auch keinen größeren Normalteiler, weil jeder Normalteiler von G Untergruppe von G sein muss. Also sind die triviale Untergruppe und G selbst die einzigen Normalteiler, die es gibt. Deshalb kann es keine weitere Reihe an Normalteilern geben. Und die Gruppe ist nicht auflösbar. Richtig so? |
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| 26.02.2014, 15:51 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ja, das wesentliche ist, dass man bei einer auflösbaren gruppe eine kette von normalteilern finden kann, bis man zum schluss zur einelementigen gruppe kommt und das die jeweiligen faktorgruppen kommutativ sind, und beides gleichzeitig funktionert bei perfekten gruppen nicht, man bleibt immer bei der ursprünglichen gruppe stehen, wenn man nacheinander kommutatorgruppen bildet, man sagt auch die kette bleibt stationär. So, jetzt lassen wir es mal dabei bewenden. gruss ollie3 |
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| 26.02.2014, 17:09 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ok 
Damit ist die zweite Frage geklärt. Danke dir.Vllt weiß ja jemand noch was zu den anderen beiden Fragen. Würde mich freuen. |
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| 26.02.2014, 22:11 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht sollte man hier einfach mal folgende Äquivalenz in den Raum werfen: Eine Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn die iterierten Kommutatoruntergruppen trivial werden. Damit ist die Folgerung direkt klar. Evtl. ist das auch eine mehr oder weniger befriedigende Antwort auf 3). Was 1) angeht: Das ist klarerweise falsch. Der Zentralisator jedes Elements ist ja mind. mal so mächtig wie die Ordnung des Elements... Um ein Gefühl zu kriegen, schau dir doch die wohl "einfachste" perfekte Gruppe an: . |
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