Normalteiler nicht transitiv. Gegenbsp D4, V4, {1,a}

25.02.2014, 15:48	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler nicht transitiv. Gegenbsp D4, V4, {1,a} Hallo, ich möchte zeigen, dass die Normalität einer Untergruppe nicht transitiv ist. d.h. Sei H Normalteiler von N und N Normalteiler von G. Dann folgt daraus NICHT, dass H Normalteiler von G ist. Ich habe ein wenig recherchiert und ein Gegenbeispiel gefunden. Würde mich freuen, wenn jemand kurz draufschauen kann, ob ich das richtig gemacht habe. Ganz unten habe ich auch noch eine Frage.. Es gilt: $\begin{eqnarray} \{e, a\}\vartriangleleft V_4 \vartriangleleft D_4 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \{e,a\} \end{eqnarray}$ ist kein Normalteiler von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ . Dabei ist V_4 die Kleinsche Vierergruppe und D_4 die Diedergruppe der Ordnung 24=8. Mir ist klar, dass V_4 eine Untergruppe von D_4 ist. Außerdem ist mir klar, dass $\begin{eqnarray} \{e,a\} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe und sogar ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ ist (da der Index gleich 2 ist). Mir ist auch klar, dass $\begin{eqnarray} \{e,a\} \end{eqnarray}$ kein Normalteiler von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ ist.[/B] denn ich muss zeigen: es gibt ein Element u aus $\begin{eqnarray} \{e,a\} \end{eqnarray}$ und ein Element g aus D_4 sodass $\begin{eqnarray} u \cdot g \neq g \cdot u \end{eqnarray}$ . Hier habe ich a (Spiegelung an der Diagonalen des Quadrats) und g (Drehung um 90 Grad) gewählt. Es ist (13)(1234)=(12)(34) ungleich (14)(23)=(1234)(13). Also kein Normalteiler. Was mir nicht klar ist, ist dass $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray*}$ ist. Natürlich erhalte ich das Ergebnis, indem ich die Definition nachrechne. Aber das dauert ziemlich lange.. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit? lg Duude
25.02.2014, 17:21	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler nicht transitiv. Gegenbsp D4, V4, {1,a} hallo, V4 ist deswegen normalteiler von D4, weil V4 eine untergruppe von D4 mit index 2 ist. (V4 hat 4 elemente, D4 hat 8, so einfach ist das) gruss ollie3
25.02.2014, 19:03	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt natürlich. Ich hatte mich so auf die Definition konzentriert, dass ich das total vergessen hatte Danke. Der Rest müsste auch passen, oder?
25.02.2014, 19:14	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, der rest geht in ordnung. Habe übrigens auch deinen anderen thread mit den kommutatorgruppen gelesen, werde morgen auch noch was dazu sagen. gruss ollie3
25.02.2014, 19:45	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank Na da bin ich ja mal gespannt auf morgen...

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