Warum komplexer Logarithmus nicht auf C\{0} holomorph?

26.02.2014, 13:01	ZerO22	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum komplexer Logarithmus nicht auf C\{0} holomorph? Hallo Leute , habe nur eine kleine Frage. Wieso ist der Hauptzweig des Logarithmus auf nicht holomorph auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \ \{0\} \end{eqnarray}$ nicht holomorph. Soweit ich weiß, muss man vorher die negative reelle Achse rausnehmen..aber wieso ist da so? Der Hauptzweig ist ja definiert als: $\begin{eqnarray} Log(z)=ln(\|z\|) + iarg(z) . \end{eqnarray*}$ Aus dieser Vorschrift kann ich allerdings nicht erkennen, wieso man die negative Reelle Achse rausnehme muss.
26.02.2014, 13:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Er ist ja schon einmal gar nicht stetig. Erst recht kann er also nicht holomorph sein. Betrachte etwa $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}(z) \ \ \mbox{für} \ \ z \to -1 \end{eqnarray}$ einmal für $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(z)>0 \end{eqnarray}$ und einmal für $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(z)<0 \end{eqnarray}$ .
26.02.2014, 13:56	ZerO22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich betrachte mal die Folgen: $\begin{eqnarray} a_{n}=e^{i \pi (1-\frac{1}{n})} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n}=e^{-i \pi (1-\frac{1}{n})} \end{eqnarray}$ dann konvergieren $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ gegen -1. Aber es gilt: $\begin{eqnarray} ln(a_n)=arg(a_n)=i \pi (1-\frac{1}{n}) \rightarrow i \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(b_n)=arg(b_n)=-i \pi (1-\frac{1}{n}) \rightarrow -i \pi \end{eqnarray}$ Also ist log(z) unstetig in -1 Korrekt so?
26.02.2014, 18:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig. Für die genaue Formulierung kommt es aber auf die Vorgeschichte an. Falls $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}(z) \end{eqnarray}$ auch für negative reelle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ erklärt wurde, indem man etwa für das Argument den Wert $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ festgelegt hat, dann könnte man jetzt sagen: $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}(z) \end{eqnarray}$ ist bei $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ unstetig. Falls $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}(z) \end{eqnarray}$ für negative reelle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ aber noch gar nicht erklärt ist, dann müßte man eine andere Formulierung wählen: $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}(z) \end{eqnarray}$ läßt sich in $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ nicht stetig fortsetzen. Entsprechendes gilt natürlich für alle negativen reellen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ .

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