Anzahl Nullstellen in p-adischen Zahlen

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Nullstellen in p-adischen Zahlen
Hallo zusammen.

In unserer Vorlesung haben wir viel in den p-adischen Zahlen gerechnet. Leider habe ich dort teilweise doch so meine Schwierigkeiten.

Eine Frage, die mich besonders beschäftigt, ist die, wie man die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in bestimmt.

Ich frage mal anhand eines direkten Beispiels:

Sei .

Ich soll jetzt zeigen, dass das Polynom drei Nullstellen in besitzt.

Leider weiß ich hier nicht, wie ich vorgehen soll. Als Lösungshinweis ist gegeben, dass man diese Anzahl direkt mit dem Hensel-Lemma bestimmen kann, aber wie...?

Durch einfaches Nachrechnen sieht man direkt, dass Lösungen mod 5 sind.

Nun ist natürlich .

Es ergibt sich , entsprechend ist das "einfache" Hensel-Lemma anwendbar. Soweit, so gut.

Analog ergibt sich mit 5-adischer Bewertung von 2.

Nun ist allerdings , entsprechend lässt sich hier keine "Liftung" bestimmen. (?)

Ich habe jetzt auf zweierlei Arten und Weisen versucht zu verstehen, warum es drei Nullstellen gibt.

Variante 1: ist eine einfache Nullstelle und eine doppelte Nullstelle ().

Insgesamt ergibt sich eine einfache und eine doppelte Nullstelle, also drei Nullstellen.

Variante 2: lässt sich nicht liften, liefert daher nur eine Nullstelle, lässt sich liften, somit sind und die entsprechende Liftung Nullstellen in , insgesamt also drei Nullstellen.

Ist denn eine dieser Varianten richtig? Wäre für einen kleinen Tipp wirklich dankbar, damit ich ein bisschen den Überblick bekomme (die Vorlesung ist nämlich eher "mäßig gut").

Vielen Dank schonmal! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gibt einen Unterschied zwischen "ich kann 1 überhaupt nicht liften" und "ich kann 1 nicht eindeutig liften".
Hier ist zweiteres der Fall. Da sind alle Zahlen der Form Nullstellen von f modulo 25.
Da und sind die Voraussetzungen des Hensel Lemmas für bewertete Körper
mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html
erfüllt und die 6 kann zu einer 5-adischen Nullstelle geliftet werden.

Da die p-adischen Zahlen ein Int.ring sind sind es damit genau 3 Nullstellen.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk und vielen Dank schonmal für deine Antwort!

Um ehrlich zu sein, habe ich von dieser Aussage noch nie etwas gehört. Gibt es da irgendeinen Zusammenhang zu der Version des Hensel-Lemmas, die ich kenne?

Die lautet nämlich so:

Sei ein Polynom und . Sei weiter die p-adische Bewertung.
Falls , dann existiert ein eindeutiges mit und

Diesen Zusammenhang kann ich nämlich irgendwie nicht erkennen und deswegen hatte ich gar keine Idee, wie man so eine Fragestellung angeht, da ich mit 1 diese Voraussetzung nicht hinbekommen habe...

Und was sind jetzt genau die drei Lösungen? Einmal die eindeutige Liftung von 2 und zum anderen die beiden Liftungen 6 und 21 von 1? (Für diese beiden zahlen ist nämlich die Voraussetzung für deine verlinkte Version des Hensel-Lemmas erfüllt, wenn ich mich nicht verrechnet habe).

Vielleicht kannst du mir ja noch ein bisschen Licht ins Dunkel bringen. Danke dir schonmal für deine Hilfe! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Eure Variante (ein Spezialfall der von mir zitierten; mit Verwendung des p-adischen Absolutbetrags statt der Exponentialbertung ) ist auf den Fall x=6 anwendbar (vermutlich auch auf 21)

Zitat:
Und was sind jetzt genau die drei Lösungen? Einmal die eindeutige Liftung von 2 und zum anderen die beiden Liftungen 6 und 21 von 1? (Für diese beiden zahlen ist nämlich die Voraussetzung für deine verlinkte Version des Hensel-Lemmas erfüllt, wenn ich mich nicht verrechnet habe).

Wenn du dich nicht verrechnet hast die Liftungen von 2,6, 21.
Aber eine Gegenfrage: Was bringt es dir zu wissen was die Nullstellen modulo 25 sind?
Auch nicht mehr als, dass sie existieren und verschieden sind.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für 6 und 21 gelten die Voraussetzungen von meiner Version des Hensel-Lemmas, hab ich gerade überprüft.

Ich frage mich nur, ob ich überhaupt auf die Idee gekommen wäre, diese Zahlen zu überprüfen. Ich habe das eben nur mit 0-4 ausprobiert und da habe ich eben nur für die 2 die Voraussetzung für den Hensel hinbekommen.

Und zu deiner Frage: Dadurch, dass ich jetzt doch die Nullstellen mod 25 kenne (eben 1+5t), konnte ich doch für jede dieser Nullstellen die Voraussetzungen überprüfen und so die gefragte Anzahl der Nullstellen in bestimmen. Oder verstehe ich deine Frage falsch?^^

Auf jeden Fall werde ich mir die von dir verlinkte Version gut einprägen, das hat mir sehr geholfen.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und zu deiner Frage: Dadurch, dass ich jetzt doch die Nullstellen mod 25 kenne (eben 1+5t), konnte ich doch für jede dieser Nullstellen die Voraussetzungen überprüfen und so die gefragte Anzahl der Nullstellen in bestimmen. Oder verstehe ich deine Frage falsch?^^

Scheinbar ja. Wie ich bereits schrieb, reicht es zu wissen dass es 2 NST gibt um zu erkennen, dass es dann 3 NST gibt. Es ist also mMn vollkommen unnötig nach 6 noch weitere Kandidaten fürs Liften zu suchen.

Zitat:
Auf jeden Fall werde ich mir die von dir verlinkte Version gut einprägen, das hat mir sehr geholfen.

Wenn ihr nur p-adische Zahlen betrachtet und nicht bewertete Körper ist diese Allgemeinheit nicht wirklich nötig. Die verlinkte Version für p-adische zahlen ist gerade genau eure version des Lemmas.
 
 
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ich scheine im Moment echt ein Brett vor dem Kopf zu haben, tut mir wirklich Leid. ^^

In welchem Zusammenhang meinst du denn
Zitat:
Wie ich bereits schrieb, reicht es zu wissen dass es 2 NST gibt um zu erkennen, dass es dann 3 NST gibt. Es ist also mMn vollkommen unnötig nach 6 noch weitere Kandidaten fürs Liften zu suchen.
?

Meinst du mit 2 Nullstellen x=1,2, die es mod 5 gibt? Oder die Erkenntnis, dass alle Zahlen der Form 1+5k Nullstellen mod 25 sind?

So oder so, mir ist leider immer noch nicht ganz klar, woher ich nur dank der 6 wissen kann, dass genau eine weitere Zahl dieser Form einen Lift hat, der ebenfalls Nullstelle in ist, hier eben 21.

Warum kann man denn z.B. 11 und 16 ausschließen, ohne nach der 6 noch weiterzurechnen?

Wahrscheinlich ist es zu trivial und ich sehe es nicht... Zahlentheorie hat mir heute wirklich den letzten Nerv geraubt. Big Laugh Tut mir Leid, diese Nachfragerei...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind in einem (faktoriellen) Integritätsbereich, das bedeutet:

1. Ein Polynom dritten Grades hat höchstens 3 Nullstellen.

2. Wenn es 2 Nullstellen gibt, so teilen wir die beiden Linearfaktoren mit Polynomdivision raus (Zur Not Übergang in den Quotientenkörper). Übrig bleibt ein Linearfaktor, der eine dritte Nullstelle liefert, die zunächst einmal nur im Quotientenkörper liegen muss, aber das Polynom war normiert...
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