"Einfache" Folgerung (oder doch nicht?)

26.02.2014, 16:08

pittersen

"Einfache" Folgerung (oder doch nicht?)

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgenden Hilfssatz zur Verfügung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}x^k\equiv 0\mod{p} \end{eqnarray*}$

Ich möchte damit die folgende Aussage zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}x(1-x)^k\equiv 0\mod{p} \end{eqnarray*}$

Wie benutze ich diesen Hilfssatz die Aussage zu zeigen?

Meine Ideen:
Wenn $\begin{eqnarray*} x(1-x) \end{eqnarray*}$ alle Restklassen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ durchlaufen würde, wäre alles klar. Das ist aber doch nicht der Fall, wie man leicht nachprüft. Der Einfachheit halber reicht es mir den Fall p=7 zu betrachten.
Langsam habe ich das Gefühl, dass der Autor, dessen Beweis ich zu verstehen versuche, dieses Lemma garnicht benutzt hat, sondern fälschlicherweise die Behauptung daraus folgert.
Die Aussage selbst ist wohl richtig. Ich verstehe aber den Zusammenhang zum Lemma nicht.

Gruß pittersen

26.02.2014, 16:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von pittersen
Wenn $\begin{eqnarray*} x(1-x) \end{eqnarray*}$ alle Restklassen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ durchlaufen würde, wäre alles klar.

Anscheinend bist du der Annahme, dass

$\begin{eqnarray*} x(1-x)^k \stackrel{?}{=} (x(1-x))^k \end{eqnarray*}$

ist? Dem ist i.a. nicht so. unglücklich

Die Behauptung folgt eigentlich ziemlich leicht aus

$\begin{eqnarray*} x(1-x)^k = (1-(1-x))(1-x)^k = (1-x)^k - (1-x)^{k+1} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Neben

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}x^k\equiv 0 \bmod p \end{eqnarray*}$

wird dabei allerdings auch noch

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}x^{k+1}\equiv 0 \bmod p \end{eqnarray*}$

benötigt, was die Menge der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , für die beides gilt, noch etwas einschränkt. Augenzwinkern

26.02.2014, 19:23

pittersen

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Oh man! Das gibts doch echt nicht! Leider hab ich mich verschrieben, bzw eine Klammer vergessen.
Ich möchte zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{p\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(x(1-x))^k\equiv 0\mod{p} \end{eqnarray*}$

Tut mir echt Leid mit dem Schreibfehler, sorry!!
Vielleicht kann man das ja noch irgendwie retten!?

Vielen Dank!

26.02.2014, 21:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von pittersen
Ich möchte zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{p\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(x(1-x))^k\equiv 0\mod{p} \end{eqnarray*}$

Dann können die Entschuldigungen gleich reihenweise weitergehen: Erstens meinst du hier vermutlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(x(1-x))^k\equiv 0 \bmod p \end{eqnarray*}$ .

Und zweitens ist diese Gleichung falsch, z.B. für p=5 und k=2 oder k=3 .

27.02.2014, 09:15

pittersen

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@Hal9000: Erstmal Danke dafür, dass du so geduldig bist. Du hast natürlich Recht, die Summe läuft über alle x. Das war der nächste Schreibfehler unglücklich

Ich hatte versucht, die Aufgabe so übersichtlich wie möglich zu stellen, damit die Leute, die das Thema aufschlagen nicht gleich vom Aussehen der Aufgabe abgeschreckt werden. Das war wohl nicht die beste Idee unglücklich

. Ich schreibe jetzt hier nochmal alles sauber auf (ohne Schreibfehler!), mit allen Voraussetzungen.

Wir haben folgendes Lemma, welches uneingeschränkt für alle p und k gilt:
$\begin{eqnarray*} 1^k+2^k+...+(p-1)^k\equiv0\mod{p} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (p-1)\nmid k \end{eqnarray*}$

Ich möchte zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}x^{(p-1)/3}(1-x)^{(p-1)/3}\equiv0\mod{p} \end{eqnarray*}$
Allerdings nicht für alle p, sondern nur für $\begin{eqnarray*} p\equiv1\mod{3} \end{eqnarray*}$ .

In dem Beweis, den ich verstehen will steht:
"Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{(p-1)/3}(1-x)^{(p-1)/3} \end{eqnarray*}$ hat Grad $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(p-1)<(p-1) \end{eqnarray*}$ . Mit dem Lemma folgt die Behauptung."

Ich komme mir ziemlich blöd vor, da mir klargeworden ist, wie genervt ich von jemandem wäre, der ständig irgendwelche Voraussetzungen verschweigt und nicht klar sagt, was er zeigen will. Ich muss mich dafür nochmal entschuldigen und mich für deine Geduld bedanken. Kommt in Zukunft nicht mehr vor!! Diesmal hab ich alles richtig auf Schreibfehler geprüft!

27.02.2014, 11:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von pittersen
Wir haben folgendes Lemma, welches uneingeschränkt für alle p und k gilt:
$\begin{eqnarray*} 1^k+2^k+...+(p-1)^k\equiv0\mod{p} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (p-1)\nmid k \end{eqnarray*}$

Durch Hinzunahme von $\begin{eqnarray*} 0^k \end{eqnarray*}$ kannst du daraus zunächst

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} x^k\equiv 0 \bmod p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq p-2 \end{eqnarray*}$

folgern, für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ gilt es allerdings auch, wenn man wie üblich bei Polynomen $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ setzt (also auch für x=0).

Damit folgt für alle (!) Polynome $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mit Grad $\begin{eqnarray*} \leq p-2 \end{eqnarray*}$ auch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} f(x)\equiv 0 \bmod p \end{eqnarray*}$

speziell auch für dein Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) = (x(1-x))^{\frac{p-1}{3}} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Bei meinen Gegenbeispielen oben $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=2,3 \end{eqnarray*}$ war die Polynomgradbedingung $\begin{eqnarray*} 2k\leq p-2 \end{eqnarray*}$ verletzt, schon ging es schief. Augenzwinkern

27.02.2014, 13:54

pittersen

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Oh man ist das schon wieder peinlich! Danke! Manchmal hat man einfach so eine Blockade im Kopf und sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht! Wenn ich dir erzählen würde, in welchem Semester ich bin LOL Hammer

Das Argument hab ich schon 1000 mal im Studium benutzt. Deshalb mache ich Mathematik manchmal gern in Gruppenarbeit, zumindest wenn es darum geht etwas nachzuvollziehen. Einer hängt an einer eigentlich einfachen Stelle und der andere sieht es sofort und kann helfen ohne, dass unnötig zeit ins land geht!

Danke für deine Hilfe HAL9000! Vielleicht kann ich ja hier bei matheboard auch mal jemandem weiterhelfen Freude

Bis dann

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