Fouriertransformation und Fourier-Reihe - Seite 2 |
| 10.03.2014, 17:29 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Die verbleibenden Fragen werde ich morgen in Ruhe beantworten, heute abend habe ich leider keine Zeit dazu. Viele Grüße Steffen |
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| 11.03.2014, 10:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nein, es geht darum, dass die Summenformel obendrüber nur bis N-1 geht. Wir sind ja bisher gewohnt gewesen, sie bis Unendlich laufen zu lassen. Mit fs hat das nichts zu tun, die Grenze N-1 gilt bei jeder Abtastfrequenz.
Tasten wir doch mal einen Sinus ab: Wenn wir genügend Abtastwerte spendieren (z.B. im 0,2er-Abstand), ist noch alles in Ordnung, das reicht, um einen Sinus sauber zu "beschreiben". Jetzt gehen wir mal an die Grenze und tasten diesen Sinus mit seiner eigenen Frequenz ab. Also Periode 1. Was passiert? Wir erwischen immer haargenau denselben Wert! Das ist dann im Grunde ein "Gleichanteil". Gehen wir weiter rauf mit der Abtastfrequenz, z.B. Periode 0,9. Siehst Du, dass wir nun den Sinus "rückwärts" abtasten? Der erste Wert ist etwa -0,5, der zweite bei -0,9 und so weiter. Also ein recht langsamer negativer Sinus. Und weiter hoch mit der Frequenz bis zur Abtastperiode 0,5. Ab da geht's nämlich in der Tat wieder von vorn los. Bei T=0,5 ist's wieder Gleichanteil, aber bei T=0,4 z.B. bekommst Du Werte, die wieder genau wie ein Sinus aussehen (der aber gar nicht da ist, daher wird das auch Spiegelfrequenz genannt). Es fängt also alles wieder von vorne an, und das auch immer wieder.
Hier entsteht eben auch ein Amplitudendichtespektrum! Wenn das abgetastete Zeitsignal nur ein kurzer Rechteckimpuls ist, wird auch hier eine sin(x)/x-Funktion zu sehen sein, nur ist die auf die verschiedenen "Frequenzstützstellen" verteilt. Und auch hier muss man dran denken, jeweils durch den Linienabstand ("Scheibchenbreite") zu dividieren (bzw. mit der Abtastperiode Ts zu multiplizieren), wenn man die korrekten Amplituden haben will. Es ist genauso wie bei unserem Beispiel, nur dass jetzt durch die DFT bereits die "Scheibchen" schon geschnitten vorliegen und nicht "am Stück" wie bei der "richtigen" Fouriertransformation. Viele Grüße Steffen |
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| 11.03.2014, 19:26 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hmm, aber was ist nun der Unterschied zwischen fourier-reihe und dieser DFT Sd'? Dieses n ist jetzt nicht mehr die Oberwelle, sondern einfach der "Zeitindex", aber wie eliminieren sich nun die Frequenzen? Also es ist ja nicht bei jedem Abtastpunkt eine Frequenz da. Bei der Fourier-Reihe wurden die Frequenzen durch Cn(wenn die Amplitude=0 ist) eliminiert. Wie läuft es hier genau ab? Andere Frage: Warum ist fs genau da wo N ist? So wirklich verstehe ich es doch nicht.
Also, dass verstehe ich nicht. Wenn die Abtastfrequenz 1/0,9 ist, dann ist ein Abtastpunkt bei 0,9 bei 2*0,9 usw. Wie kommst du da auf -0,5? Meinst du mit negativen Sinus sowas: -sin(x) ? Ich verstehe das nicht wirklich, wie kommst du auf die Werte und warum wird "rückwerts" abgetastet bzw. was heißt das genau?
Ja, bei der Abtastperiode nimmt es immer den Nulldurchgang her. Wo gehts da dann von vorne los? Was meinst du damit? Hm, warum Spiegelfrequenz? Hat das jetzt was mit komplexer Darstellung zu tun? Ich bin verwirrt. Also, ich fasse zusammen was ich noch nicht verstehe: - Warum werden die Frequenzen bei N/2 gespiegelt? - Warum ist das ganze überhaupt periodisch 
teilfragen sind eh oben, aber ich verstehe es nicht so)
Aber warum?
1. Multipliziert man das nur mit der Fensterbreite, dass man einfach V/Hz bekommt für Sd'', aber ich verstehe den Sinn dahinter nicht. Warum soll das dann einfach für nichtperiodische Signale(wie unseren Rechteckimpuls) funktionieren? Was habe ich davon, wenn ich das gerade mit der Fenstergröße multipliziere? 2. Du meinst: Scheibchenbreite(abstand der "abtastdinger" in hz, also deltaf) mit der jeweiligen Amplitudendichte von Frequenz X multiplizieren und nicht dividieren? Die Amplitude ist ja dann diese Fläche von dem Scheibchen da, wie du sagtest. Aber es ist schon sehr schwer verständlich, warum eine Fläche eine Amplitude repräsentieren soll
.mfg Integraluss |
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| 11.03.2014, 23:43 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PS: ich hätte na noch ne klitzekleine Frage. Fourier-Reihe gegeben: Amplituden-Spektrum aufzeichnen ist ja noch ganz einfach, aber Phasenspektrum. Ich kann mich nicht mehr erinnern, wie das mit der Verschiebung da funktioniert. Eins weiß ich, dass pi/4=45° ist und dass der cos dem sin um 90° verschoben ist(oder umgekehrt). Wie genau gehe ich davor? Wie läuft das dann bei der komplexen Darstellung ab? Da ist ja eine Seite positiv und die andere Seite von Spektrum hat einen neg. phasenwinkel, soweit ich weiß, richtig? |
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| 12.03.2014, 10:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Gehen wir mal von einer festen Abtastfrequenz aus, z.B. Eins: Der Sinus wird also in Abständen von 1 abgetastet. Dies sind hier die gestrichelten vertikalen Linien, siehst Du das? Der erste Wert ist also 0, der zweite knapp 1, der dritte um 0,6 und so weiter. Wenn Du diese Punkte mit einem Edding verbindest, sieht das noch ziemlich so aus wie die tatsächliche Funktion. Die Frequenz des Sinus ist mit f=0,2 noch deutlich unter fs/2, hier passiert also nichts. Jetzt schauen wir mal, was mit höheren Frequenzen passiert, z.B. f=0,45: Der erste Wert ist 0, der zweite 0,3, der dritte -0,6, der vierte 0,8 und so weiter. Ein ziemliches Gezappel! Dennoch kann man, wenn man's verbindet, auch hier noch die analoge Funktion erkennen. Probier's ruhig mal aus. So, jetzt gehen wir auf die Nyquistfrequenz f=0,5: Nichts mehr da. Nur Nullen. Ok, das wussten wir ja schon. Nun gehen wir hinter den Spiegel mit f=0,55: Der erste Wert ist 0, der zweite -0,3, der dritte 0,6, der vierte -0,8 und so weiter. Merkst Du was? Das sind dieselben Beträge wie bei f=0,45, nur das Vorzeichen ist vertauscht! Hier wird uns also ein Minus-Sinus mit f=0,45 "vorgegaukelt! Dann schauen wir doch gleich mal nach der entsprechenden Spiegelfrequenz von f=0,2, also f=0,8: In der Tat: dieselben Beträge, anderes Vorzeichen. Die arme DFT wird also auch hier glauben, es handelt sich um eine 0,2er-Schwingung. Gut, gehen wir auf f=1: Wieder nur Nullen. Auch das war zu erwarten. Dann weiter auf f=1,2: Der erste Wert ist also 0, der zweite knapp 1, der dritte um 0,6 und so weiter. Hab ich das nicht schon mal geschrieben? Richtig - es sind exakt dieselben Werte wie bei 0,2! Das Spektrum wiederholt sich. Spaßeshalber noch f=1,45: 0; 0,3; -0,6; 0,8 - alte Bekannte von f=0,45. Auch hier wird die DFT nicht unterscheiden können, genauso wie später bei 2,45 und so weiter.
Weil der Abstand der N Linien im Spektrum genau fs/N ist. Denn die erste Linie repräsentiert Ereignisse, die einmal im Beobachtungszeitraum T aufgetreten sind, entspricht also der Frequenz 1/T. Die zweite entspricht also 2/T, und die N-te eben N/T, was aber auch gleichzeitig fs ist, denn wir haben den Beobachtungszeitraum ja in N Stücke zerhackt, also mit der Frequenz N/T.
Amplitudenspektrum ist in der Tat einfach: Gleichanteil |c0|=3,5 und dann ein |c1|=2,5 sowie ein |c2|=5. Sonst nichts. Phasenspektrum ist genauso leicht, wenn Du Dir klar machst, dass ein cos eine Phase von 0 hat! Dann ist, wie Du siehst, die Phase von c2 direkt mit -pi/4 ablesbar! Na, und der Sinus hat schon mal von vornherein eine Phase von pi/2, das ist dann auch schon der Phasenwert von c1. Das war's.
Schau Dir mal diese Formel an: Ein Cosinus der Amplitude Eins wird hier also in der Tat dargestellt durch eine positive und eine negative Schwingung der Amplitude 0,5. Du zeichnest also links und rechts von Nullpunkt jeweils die Hälfte der Amplitude bei der entsprechenden Frequenz hin. Und wenn er noch eine Phase hat (also x+phi statt nur x), dann kannst Du diese Phase (mit demselben Vorzeichen) ebenfalls links und rechts im Phasenspektrum hinzeichnen. Viele Grüße Steffen |
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| 12.03.2014, 23:59 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Danke und bitte antworte unter jedem Absatz/Frage, dass ich immer genau nachvollziehen kann, was wo jetzt hingehört(es könnte sein, dass man Fragen zusammenfassen könnte, aber ich findes besser so, darum bitte trotzdem unter jedem Absatz/Nummerierung/Frage antworten, danke!) Diesmal ist es mehr geworden, sorry. Aber du musst es nicht sofort auf der Stelle am Vormittag beantworten, da ich erst morgen Abends Zeit dafür habe, dass durchzulesen, würde mich freuen, wenn du das bis morgen Abends beantworten kannst bitte! 
1. Sind die einzelnen Sinus-Signale(die du gemalt hast) die Teilschwingungen von s(t), oder was sollen diese darstellen? 2. Warum kommen da einmal, die ganz exakten Abtastwerte bei verschiedenen Frequenzen heraus und einmal genau dieselben Abtastwerte nur mit anderem Vorzeichen? Was macht man nun mit diesen? Wo kann ich diese im Spektrum sehen? 3. Du sagtest doch dieser "negativer Sinus" hat ja die anderen vorzeichen, ist der jetzt im negativen Bereich, oder wo soll ich den sehen? Der hat doch keine negative Frequenz. Oder was ist damit gemeint? 4. In dem Bild steht doch auch, dass, wenn k=1 ist und k = N+1 ist, denselben Abtastpunkt haben, also ist für k=0: e^0 und für k=N: e^-j2pi. --> e^-2pi = e^0. Richtig? 4.1 Und darum ist das ganze halt periodisch, weil diese terme gleich sind, aber was bringt es weiter wie N hinauszudenken? 5. Hier wird ja für jedes Sd'(k) die Summe von den Multiplikationen(s(n)*e^...) bis N-1 gemacht. 5.1 Was macht dieses s(n)*e^... genau? (Erklär es bitte nicht mit Vektoren, denn diese machen wir überhaupt nicht) 5.2 Was bringt es dann die Summe von dem zu berechnen? 5.3 Im prinzip ist das s(n) ja das s(t) und die Summe ja das Integral davon. HIer werden halt die diskrete Werte addiert, aber ich verstehe nicht, warum man von der fourier-reihe abgeleitet hat, die DFT (Sd') hat ja genau so viel wie man sieht mit der kontinuierlichen FT was zu tun, oder nicht? 6. Warum wird nun bei fs/2 gespiegelt? Oder hast du die ganze Zeit vom dem Spiegeln geredet, aber nicht das das Spektrum periodisch weiter geht? ich dachte jetzt die ganze Zeit du hättest erklärt, warum das Spektrum periodisch ist. Jedoch weiß ich noch immer keine Antwort auf meine oberen Fragen. Zu der Sd''-formel nochmals: 1. Multipliziert man das nur mit der Fensterbreite, dass man einfach V/Hz bekommt für Sd'', aber ich verstehe den Sinn dahinter nicht. Warum soll das dann einfach für nichtperiodische Signale(wie unseren Rechteckimpuls) funktionieren? Was habe ich davon, wenn ich das gerade mit der Fenstergröße multipliziere? 2. Die Amplitude ist ja dann diese Fläche von dem Scheibchen da, wie du sagtest. Aber es ist schon sehr schwer verständlich, warum eine Fläche eine Amplitude repräsentieren soll verwirrt. Wenn mich das wer fragen würde, wie soll ich es einfach erklären? Gibt es da keine plausible Erklärung?
Also wir haben als Bsp das gemacht und links vom Nullpunkt haben wir +45° bei -2f0 und +90° bei -f0 gezeichnent und rechts vom Nullpunkt -45° bei f0 und -90° bei f0. Wie komme ich auf das? Beim Einfachen Spektrum geht es ja einfach, aber hier dann mit den komplexen... Zum Windowing und Leakage: siehe windowing.png: 1. Bei der DFT können keine uendlich langen Signale transformiert werden? Naja wieso denn nicht, man kann doch k auch gegen unendlich laufen lassen? Außerdem auf bezieht sich das? Auf Sd' oder Sd''? oder beides? Ich meine die signale bei Sd'' sind ja in dem sinn auch unendlich. Bei Sd' nimmt man halt die Periodendauer her von einem "teilperiodischen" signal, aber man denkt es ist unendlich. Ist doch voll verwirrend der ersten Satz. 2. Durch Fensterung wird das Spektrum verändert. Ja das haben wir ja gesagt, also es kommt eine sin(x)/x-funktion im Spektrum dazu, richtig? (Bei einem rechteckfenster) 2.1 Naja bei der kontinuerlichen FT, wie sieht das dann aus? Bei der DFT sieht ja ein so ein Spektrum-Strich, wie die Fensterfunktion, aber wie siehts bei einem kontinuierlichen spektrum aus? Da ist es ja ganz anders? 3. Naja wie man sieht machen die eine FEnsterung bei einem kontinuierlichen Signal, also soll man da die cFT anwenden und nicht die DFT. Das verwirrt ja wirklich voll dieses Skript irgendwie^^. Oder wie ist das gemeint? 4. Durch die Faltung also, verwischt dieses Spektrum, also es "rinnt" aus. Kann man die Faltung kurz in ein paar Wörtern erklären? Also statt multipliziert im Zeitbereich, wird ja irgendwas integriert im Frequenzbereich. 5. Bild 3-4 bis Bild 3-6 zeigen halt die Unterschiede mit und ohne Fensterung. Naja was soll mir Bild 3-7 bis 3-12 zeigen? Was zeigt denn diese dB-Skala? Wie weiß ich was besser ist oder nicht? Nebenschwinger meinen wohl jene Frequenzen, die neben den Originalfrequenze da sind, oder? Was ist das beste Fenster hier? Von-Hann fängt nicht bei 0 db an, sowie beim Rechteckfesnter etc. Auf welche Merkmale soll man da schauen? 6. Der Text rechts unten im Bild: Amplitudenfehler. Alle außer Rechteckfenster erzeugen Amplitudenfehler? Hä? Dann ist doch Reckteckfesnter ultimativ, oder nicht? 6.1 Amplitudenfehler von was? Im Spektrum? Warum unter Faktor 1? 6.2 Was heißt denn quasi-stationär? -> Fast periodisch, denke ich? Warum kann man den jetzt so korrigieren, wie es da steht? 6.3 Ok, ist das ein wichtiger Punkt? Was hat der zu bedeuten? siehe leakage.png: 7. Leakage-Effekt: Dieser entsteht, wenn delta_f kein ganzzahliges Vielfaches von deltaf ist. Hmm, aber warum? Ich bin irgendwie durcheinander gekommen da. 7.1 Was ist nun der Unterschied zwischen dem "ausrinnen", was bei der Fensterung passiert und dem Leakage-Effekt? Eig. ist doch der Amplitudenfehler hier eingeschlossen, weil wenn man eine andere Frequenz hat, dann ist auch automatisch die Amplitude falsch, right? 7.2 Kann man das auch irgendwie auf fs rückschließen? Das hängt doch alles zusammen. 7.3 Abhilfe: Zeitfenster vergrößern. Das Signal ist ja schon vorher abgetastet und ich multiplizier es mit einem Fenster mit der Fenstergröße Tf. Warum soll dann 6xTf engere Abtastunkte haben? fs wurde ja nicht geändert. Ich weiß zwar das 1/Tf = deltaf ist, aber es ist nich logisch für mich, wenn fs gleich bleibt, warum es dann merhrere Punkte geben soll. 7.4 Zero-Padding und Ordnungsanalyse verstehe ich nicht, auch wenn ich mir mehrmals den Text durchgelesen habe. Kannst du mir das bitte hier näher erklären? Ich hab mir eine Aufgabe ausgedacht: Kann man überhaupt aus einer gegeben Fourier-Reihe über die FT die Spektraldichte bilden? Also mit der Hand auf zeichnen, ohne Rechner-Hilfe. Ist das voll schwierig eigentlich. |
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| 13.03.2014, 15:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nein, die stellen jeweils ein Beispielsignal s(t) mit jeweils anderer Frequenz dar, das mit einer festen Abtastfrequenz (den gestrichelten Linien!) abgetastet wird. Was also in den Speicher gelangt, sind die y-Werte der roten Kurve, da, wo sie die gestrichelten Linien schneidet.
Das ist eben der Aliasing-Effekt beim Abtasten. Warum das so ist, hab ich versucht, mit den Grafiken zu zeigen.
Du kannst sie im Spektrum ab der halben Abtastfrequenz sehen. Und weil sie mit anderem Vorzeichen kommen, ist zwar ihre Amplitude dieselbe, ihre Phase aber halt um 180° verschoben. Machen tut man nichts mit denen, im Gegenteil: da sie keinen Nutzen haben, wird das Spektrum normalerweise nur bis fs/2 dargestellt.
Er ist invertiert: aus sinx wird -sinx. Eine -sinx-Kurve ist eine negative sinx-Kurve.
Ja, das stimmt.
Es bringt nichts, da hast Du völlig recht. Der Verfasser wollte vielleicht Fragen vorbeugen, warum die "normale" DFT die Summe bis Unendlich hat und die von abgetasteten Signalen nur bis N geht. Offenbar hat er damit eher Verwirrung gestiftet.
Dasselbe wie die Multiplikation mit Sinus und Cosinus. Nur eben in einem Aufwasch.
Das ist dann das Fourierintegral. Bei Einzelwerten wird aus einem Integral eine Summe.
Ja, und das steht ja auch da, dass beides geht. Es ist nur "günstiger", mit der Reihe zu arbeiten, weil man sonst, wie ich ja schon mal erwähnt habe, mit Diracstößen und so weiter zu kämpfen hat.
Das Spiegeln und die Periodizität hängen zusammen, es sind beides Aliasing-Effekte. Vielleicht ist es mit meinen obigen Ausführungen jetzt klarer.
Auch hier wollte der Verfasser die kompliziertere Mathematik mit Dirac & Co. vermeiden, daher die etwas geschwurbelte Herleitung. Eine DFT mit abgetasteten Werten liefert halt sofort die Reihe (also die Amplituden), weil das Spektrum diskrete Werte enthält. Für nichtperiodische Einzelereignisse braucht man aber eben nun mal das Amplitudendichtespektrum zur Beschreibung! Daher die Multiplikation mit der Zeit, wenn diese Werte abgetastet vorliegen.
Vielleicht ist es mit Einheiten einfacher: eine Fouriertransformierte hat die Einheit Amplitude durch Frequenz. Das siehst Du, wenn Du Dir die Formel genau betrachtest: Da wird f(t) (die Amplitude) multipliziert mit einer e-Funktion (ohne Einheit) und einem dt (einer Zeit). Die Einheit ist also Amplitude mal Zeit (was ja Amplitude durch Frequenz entspricht). Die Fläche, also das Scheibchen, von dem wir reden, hat also als vertikale Kante "Amplitude durch Frequenz", als horizontale Kante "Frequenz". Multipliziert man die, wird die Einheit zur Amplitude. Es ist doch wie z.B. bei einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, bei dem die Fläche ja auch einfach der Weg ist. Klingt komisch, ist aber so.
Schauen wir noch mal die Formel an, gleich mit Frequenz und Phase drin: Dann nehmen wir erst einmal den Cosinusterm, da kennen wir ja die Phase und setzen ein: Und so kannst Du sofort die beiden Phasen bei +2f, nämlich -45°, und -2f, nämlich +45°, ablesen. Den Sinusterm bei f0 formst Du mit dem Wissen um. Dann entsteht Und auch hier sind die Phasen jetzt leicht ablesbar: bei +f sind es -90°, bei -f sind es +90°.
Nein, wie willst Du da auch einen Sinus drüberlegen?
Hier geht's um die Praxis, nicht um Grenzwertberechnungen. Du hast einen Zeitausschnitt von 42 Sekunden, damit legst Du erst mal einen Sinus dieser Periode drüber, das ist die Grundfrequenz. Dann einen der halben, drittel, viertel Periode. Aber Du brauchst hier einen Anfang und ein Ende!
Auf beides, überall ist eine endliche Reihe mit N-1 zu sehen. Es geht nicht anders, das liegt in der Natur der DFT.
Ja, das ist das, was da abgebildet ist.
Ja, genau da kommt der Dirac-Stoß hin. Ok, dann erzähl ich mal ganz ganz kurz was darüber: stell Dir ein Rechteck vor mit Breite 1 und Höhe 1. Hat also die Fläche 1. Nun halbierst Du die Breite und verdoppelst die Höhe. Die Fläche bleibt 1. Du machst das noch mal und immer wieder. Zum Schluss hast Du einen winzig dünnen Strich mit unendlicher Höhe - aber Fläche 1. Eine solche Dirac-Linie als Amplitudendichte im FT-Spektrum bei einer bestimmten Frequenz würde in diesem Fall auftreten. Und ihre Fläche beschreibt dann die Amplitude bei der Frequenz. Kannst Du jetzt verstehen, warum der Autor da nicht näher drauf eingeht? Es ist schon verwirrend genug ohne Dirac.
Durch die Abtastung wird ein Spektrum diskret. Du betrachtest es sozusagen durch einen Kamm, dessen Zinken 1/T (Fensterbreite) betragen. So kann man ein Spektrum, das man bereits theoretisch und kontinuierlich kennt, sofort hinzeichnen, wenn man die Fensterbreite hat. Dies wollte der Autor hier zeigen.
Die grafische Deutung ist am einfachsten: wo ohne Fenster eine Linie ist, erscheint nun jeweils das Spektrum des Fensters. Bei einem einzelnen Sinus (wie im Beispiel) also nur einmal, bei einem Rechteck auch noch bei der dritten, fünften, siebten Harmonischen und so weiter, entsprechend kleiner.
Die Bilder zeigen Dir, wie gut die einzelnen Fenster die Leakage verhindern. Wenn eine Frequenz des Signals beim Rechteckfenster exakt auf einer Spektrallinie liegt, ist alles gut: die Linie selbst wird in der Amplitude nicht verfälscht (0 dB) und die Nachbarlinien überhaupt nicht angeregt (das sind die Nullstellen im Abstand der Frequenzauflösung). Wehe aber, wenn die Frequenz exakt zwischen zwei Linien liegt! Die Amplitude (die sich auf diese beiden Linien symmetrisch verteilt) wird stark gedämpft, Du kannst ungefähr den Wert -5dB ablesen, also über 40 Prozent runter. Und, noch schlimmer: die Nachbarlinien kriegen alle was ab: die ersten mit etwa -15dB, die zweiten um die -20dB und so weiter. Siehst Du das? Nehmen wir dagegen das von-Hann-Fenster: im optimalen Fall (Frequenz liegt auf Linie) ist die Amplitude dieser Hauptlinie bei -6dB und die der zwei Nachbarn bei etwa -15dB. Die -6dB sind der erwähnte Fensterfaktor (50%), den kann man eh wieder reinrechnen. Im schlimmsten Fall (Frequenz liegt zwischen Linien) lese ich die Hauptlinie bei etwa -8dB ab, die beiden nächsten Nachbarn bei -25dB, die übernächsten bereits bei -40dB. Das von-Hann-Fenster hat also zwar grundsätzlich zwei Nachbarlinien, die weiteren Nachbarn sind aber kaum noch der Rede wert. Und so kannst Du auch die anderen Fenster beurteilen.
Könnte man denken, weil im Text gar nicht darauf eingegangen wird, warum man überhaupt Fenster verwendet. Wenn das abgetastete Signal "genau ins Fenster passt", also eine ganzzahlige Zahl von Perioden im Fenster ist, dann ist das Rechteckfenster optimal. Dann sieht man im Spektrum exakt eine Linie bei der Frequenz des Signals, mit exakt der richtigen Amplitude. Leider weiß das abgetastete Signal aber nicht, wie schnell es abgetastet wird, so kann es passieren, dass die Frequenz zwischen zwei Linien im Spektrum liegt. Und dann geht die Amplitude beim Rechteckfenster so richtig in die Knie: bis 30 Prozent Fehler können entstehen. Beim von-Hann-Fenster ist dieses In-die-Knie-Gehen zum Beispiel nicht so schlimm, dafür stimmt die Amplitude leider auch nicht ganz, wenn die Frequenz exakt passt.
Das Zeitsignal wird ja verfälscht, wenn man die Werte mit irgendwas ungleich Eins multipliziert. Wenn man alle Werte mit 0,5 malnimmt, wird der Amplitudenfehler natürlich 50 Prozent sein. Die Fenster, die hier genannt werden, haben, wie Du in den Grafiken siehst, nur Werte von Eins und kleiner. Also wird die Amplitude aus demselben Grund zu klein sein. Da man den Faktor aber kennt, kann man ihn einfach wieder reinmultiplizieren.
Ja, quasistationär heißt, dass es links und rechts so weitergeht wie im Zeitausschnitt, der untersucht wird. Das ist ja, was die DFT voraussetzt.
Eigentlich nur, was ich schon geschrieben habe: wenn Du ein Fenster verwendest, musst Du Dir klar sein, dass die Amplituden kleiner werden und sie mit einem "Fenster-Faktor" korrigieren. Übliche Spektrumanalysatoren machen das natürlich automatisch.
Stimmt. Da steht nämlich: wenn eine Frequenzkomponente kein ganzzahliges Vielfaches von deltaf ist. Also nicht exakt auf einer Linie liegt.
Richtig erkannt. Aber beim Rechteckfenster ist der viel größer, und das ärgert die Ingenieure. Die sind hauptsächlich an den korrekten Amplituden interessiert, wenn sie was messen. Und wenn ein Rechteckfenster 30 Prozent Fehler erzeugt, nur weil die Frequenz blöderweise nicht genau auf einer Linie liegt, stört sie das natürlich.
Diese Frage verstehe ich nicht.
Nein, das ist nicht gemeint. Gemeint ist, dass einfach noch mal neu gemessen wird, und zwar sechsmal so lange.
Die Anzahl der Abtastwerte entscheidet ja über die Auflösung im Spektrum. Wenn Du 100 Werte spendierst, ist die Frequenzauflösung fs/100, bei 1000 Werten fs/1000. Hast Du nun einen Zeitschrieb mit 100 Werten, die mit 100 Hertz abgetastet wurden, ist die Auflösung 1 Hertz. Nun möchte man gerne 0,1 Hertz Auflösung. Also vergrößert man den Zeitschrieb, indem man 900 Nullen anhängt. Bei der Ordnungsanalyse schafft man es technisch (meist mit einem Trigger), genau eine Periode des interessierenden Signal zu erfassen. In diesem Fall bekommt man also exakte Frequenzen und Amplituden von der DFT, ein Fenster ist hier also eher schädlich.
Die Fourierreihe zeigt die Amplituden bei einzelnen Frequenzen mit festem Abstand . Du musst die ganzen Amplituden also nur durch dieses konstante teilen, dann hast Du die Amplitudendichte. Meinst Du das? Viele Grüße Steffen |
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| 11.06.2014, 23:23 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hallo, ich bins wieder nach "langer" Zeit^^. Danke dir für deine Hilfe, es hat mir sehr geholfen, doch ich denke ich muss etwas auffrischen und habe genauere Fragen. Ich bitte euch einfach meinen Beitrag zu zitieren und dann direkt unter meinen Fragen zu antworten. Bilder sind entweder auf der ganz ersten Seite(erster Beitrag), oder auch auf S.4 ganz oben. Der Leakage-Effekt ist doch dieser "Auslauf-Effekt". Lauft ein Spektrum aus, wenn eine Frequenzkomponente f0 eine Signals kein ganzzahliges Vielfaches von delta_f(abstand der Abtastpunkte im Spektrum) ist? Siehe Bild3-13: Das Bild verwirrt extrem irgendwie :/. Alle 10Hz gibt es ja Abtastpunkte, wo eine Amplitude sein kann. Wie will denn überhaupt wissen, ob das Signal wirklich 103Hz hat? Muss es nicht in Wirklichkeit ein signal mit 100Hz, nur verkleinerter Amplitude? Könnt ihr mir vllt ein anderes Bsp zeigen bitte, denn es ist echt verwirrend. Bild3-14: Warum werden Nebenschwinger kleiner, wenn man das Zeitfenster vergrößert? Weil es mehr Abtastpunkte gibt? Warum gibt es mehr Abtastpunkte? 1/Fenstergröße = delt_f und je größer Fenstergröße, desto mehr Abtastpunkte. Ja, laut Formel verstehe ich es. Warum rücken die Punkte näher zusammen, wenn die Fenstergröße vergrößert wird? Es ist doch viel logischer, wenn man einfach das Fenstergrößer macht, mit der selben fs abtastet --> man hat einfach MEHR Abtastpunkte, aber mit demselben Abstand. Es ist nicht logisch, wenn auf einmal der Abstand kleiner wird, obwohl man fs nicht anrührt. Allgemeine Frage: Sind diese Spektren jetzt kontinuierlich oder nicht? Verwendet man da Sd' oder Sd''? Danke im voraus!! mfg Integraluss |
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| 25.06.2014, 10:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ja, wie bereits geschrieben.
Du hast recht, das könnte man nicht voneinander unterscheiden. Dieses Beispiel soll aber zeigen, was passiert, wenn eben gerade ein 103-Hz-Sinus transformiert wird. Das heißt, die 103 Hz werden vorausgesetzt und dann das Spektrum betrachtet, nicht umgekehrt.
Weil die Auflösung des Spektrums auch größer wird. Wenn Du eine Sekunde lang abtastest, hast Du prinzipiell eine Freqeunzauflösung von einem Hertz. Immer, egal bei welcher Abtastfrequenz. Tastest Du zehn Sekunden ab, ist die Frequenzauflösung 0,1 Hz. Und genau diese Auflösung ist ja der Abstand der Punkte! Die rücken also zwangsläufig enger zusammen. Viele Grüße Steffen |
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| 23.06.2016, 10:26 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hallo, wir haben heute das erste Mal die FT in der Uni besprochen. Jedoch wurde die Transformation vom Zeitbereich in den Bildbereich folgendermaßen definiert: Ich dachte, dass man dieses 1/T weglässt und es in s(t) einfügt, so wie hier beschrieben: http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=33382 (Beitrag #1) Die Wurzel im Nenner wundert mich auch. Gruß |
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| 23.06.2016, 10:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dazu hab ich hier mal was geschrieben. Viele Grüße Steffen |
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| 24.06.2016, 11:17 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Achso okay verstehe, danke. Ich möchte auch etwas zur Faltung sagen, da es ja auch eine Transformation ist im Prinzip: Also wie man sieht hat man zwei Funktionen, wobei man die eine um t verschiebt und letztendlich durchs integrieren wir die Fläche der Multiplikation der Funktionen berechnent und man bekommt schließendlich eine neue Funktion die nur von der Verschiebungsvariable t abhängt. Aber ich frage mich, wie ich mir das Grafisch vorstellen kann. Im Anhang habe ich ein Beispiel dazu. 1. Also man sagt ja auch, man sollte für jede Verschiebung dieses Integral berechnen und dann hätte man ja unendlich Funktionen f(t), was macht man damit? 2. Was sagt die schraffierte Fläche aus, ist das obige Integral(Fläche der multiplikation der Funktionen), dass immer berechnet wird? |
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| 24.06.2016, 11:52 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Du hast nicht unendlich viel Funktionen, sondern unendlich viel Funktionswerte, die zu einer neuen Funktion zusammengefasst werden können, eben der Faltungsfunktion g(t). Das hast Du auf Deinen Arbeitspapier sehr anschaulich gezeichnet, finde ich. Diese Faltungsfunktion beschreibt, was aus einem System mit einer bekannten Impulsantwort "hinten rauskommt", wenn man eine bestimmte Zeitfunktion "vorne reinsteckt". In Deinem Beispiel ist f2(n) die Impulsantwort, physikalisch betrachtet also der Schwingungsverlauf, mit dem das System auf einen (idealisierten) Hammerschlag antwortet. Hier ist der recht theoretisch, normalerweise geht so eine Impulsantwort hoch, runter und läuft dann mit einigen weiteren Schwingern aus. Kannst Du Dir vorstellen, oder? Und das Schöne ist nun: wenn man diese Impulsantwort einmal kennt, kann man mit der Faltung sofort zeigen, wie ein beliebiges Signal vom System verformt wird. Ganz ohne Fourier (das würde auch natürlich gehen)! In Deinem Beispiel wurde der Rechteckimpuls verformt, aber nieman hindert Dich, ein Dreick, einen Gaußimpuls oder was anderes zu nehmen. Mathematisch läuft das über das Integral, in der Realität wird die zu berechende Fläche aber einfach numerisch aus den beiden (digital abgetastet vorliegenden) Signalen aufaddiert. Wenn man die Faltung somit einmal etwas "mit Leben gefüllt" hat, wird schnell klar, was für einen großen Nutzen diese trockene Formel birgt. Viele Grüße Steffen |
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| 24.06.2016, 14:29 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Also ist f1(n) z.B. mein Impuls den ich in das System reinschicke und rauskommt f2(n), somit ist dies meine Impulsantwort? 1. Was macht dann eben für einen Sinn? Was zeigt mir g(t) bzw. was bringt mir das Wissen, dass g(t) so aussieht im Bezug auf obiges System? 2. Achso jetzt verstehe ich es rein mathematisch. Man verschiebt immer dieselbe Funktion um t_i und kommt dann eben auf g(t_i), wo zu jedem Zeitpunkt ein andere Funktionswert da ist, der sich eben aus der Multiplikation von f1(n) und f1(t_ii-n) ergeben hat. Richtig? |
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| 24.06.2016, 14:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Einem Mathematiker bringt das nichts, das ist richtig. 
Ein Elektroniker oder Maschinenbauer dagegen kann damit schon eine Menge anfangen. So kann man z.B. schnell simulieren, ob eine gegebene Verstärkerschaltung bei einem bestimmten Signalverlauf am Eingang anfängt zu verzerren, weil die Ausgangsspannung dann einen bestimmten Pegel überschreitet. Oder was ein Fahrstuhl macht, wenn er trapezförmig statt sinusförmig beschleunigt wird. |
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| 24.06.2016, 16:12 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hmm, vielleicht wird es mir mit folgendem Beispiel klarer:
Diese Delta-funktion ist ja ein Dirac-Impuls oder so, d.h. sehr dünn und unendlich hoch, ideal - gibt es aber nicht. Ich glaube ich habe das falsch verstanden. Ich schicke ein Rechtecksignal in ein System0 rein und rauskommen tut ein krummes Rechtecksignal als Impulsantwort. Naja und die Faltung beschreibt eben, was genau da "schief" gelaufen ist, nämlich wurde mit (Störterm) gefaltet. Habe ich diesen Teil soweit richtig verstanden? ----------------------------------- Faltungssatz: So kann ich dann beliebig auf mein Rechtecksignal umformen: Ich denke, dass ist dann nur dann sinnvoll wenn ich meinen Fehler r und mein Ausgangssignal kenne, aber mein Eingangssignal unklar ist. Richtig? |
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| 24.06.2016, 16:33 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Das ist etwas unglücklich formuliert. "Impulsantwort" ist ein reservierter Begriff und grundsätzlich die Antwort auf einen Impuls, idealerweise tatsächlich einen Diracstoß. Das krumme Rechtecksignal ist aber keine Impulsantwort, sondern die Antwort auf das Rechtecksignal, das ja kein Impuls ist.
Nein, wurde mit dem Störterm gefaltet, so wie es Deine Formel ja beschreibt. Und genau dieser Störterm ist gleichzeitig die Impulsantwort des Systems. Wäre sie ein Diracstoß, käme hinten das Gleiche raus wie vorne reingeht. Kannst es ja mal ausprobieren.
Ja, so könnte man bei bekannter Impulsantwort auf das "wahre" Eingangssignal rückschließen. Genauso sinnvoll ist es aber eben auch, das Ausgangssignal bei bekanntem Eingangssignal vorauszusagen. Oder sogar die Impulsantwort über Ausgangs- und Eingangssignal zu berechnen, ohne dass man einen Impuls benötigt. EDIT: allerdings ist letzteres und auch der Rückschluss auf das Eingangssignal sowohl mathematisch als auch physikalisch mit einigen Schwierigkeiten verbunden. Somit bleibt als einzig "sinnvolle" Möglichkeit die Vorhersage der Systemantwort. |
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| 24.06.2016, 18:21 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ahh verstehe, danke! Ich möchte noch näher auf den Dirac-Impuls eingehen bitte: Da kein perfekter Diracstoß existiert versucht man ihn mit darzustellen, d.h. je größer n ist desto höher und schmaler ist dieser. Es heißt, dass (1) ist für und (2) . Wie kommt man bei (1) auf diese Bedingung für x? (2) ist mir auch nicht ganz geläufig leider. Ich denke es wurde die Wurzel gezogen, aber wieso? |
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| 27.06.2016, 09:32 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hier kann ich Dir leider nicht weiterhelfen. Vielleicht springt ja jemand anders ein, ansonsten stelle diese Frage am besten in einem neuen Thread. Viele Grüße Steffen |
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| 27.06.2016, 18:09 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Geht es bei (2) nur um die Berechnung des Integrals? Das ist eigentlich nur das Gauss-Integral, wo die Wurzel gezogen wird sehe ich nicht. . Substituiere nun (linear) , der Rest ist ein Selbstläufer. Zu 1: also Und wenn der Nenner eines Bruchs riesengroß wird, dann... 
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