Fouriertransformation und Fourier-Reihe |
| 26.02.2014, 19:00 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| Fouriertransformation und Fourier-Reihe Wenn ich nun ein periodisches signal s(t) habe und es in die Formel Cn bei Bild A einsetze dann bekomme ich am Ende bei der ersten formel f(t), also eine summe von sinusförmigen Schwingungen. Und wie man von Bild B auf Bild C kommt ist auch klar, denke ich. Man lässt T gegen unendlich fallen, da ja unperiodische Signale kein periodenende haben, somit geht w(omega) gegen null. Aus der Summe wird ein integral und das anderen Integral in der Cn-Formel geht von -unenldich bis +uendlich, da 2pi/w gegen unendlich geht. Und jetzt finde ich den zusammenhang nicht recht zwischen "summe von sinusschwingungen" bei fourier-reihe und "frequenzspektrum von s(t) mit formel von bild c holen". Was hat nun Fourier-Reihe mit der Transformation gemeinsam? Das ist mir nicht wirklich klar. Kann mir das einer erklären bitte? Ich hab schon das Internet durchforstet, aber nix brauchbares gefunden. Das Bild ist das einzige was ich habe. mfg Integraluss |
||||||||||||||||||||||||
| 27.02.2014, 09:35 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Die Formel für die Transformation in Bild C ist die Grundlage für alles andere: Du kannst ein beliebiges Zeitsignal, das irgendwie aussehen kann (zum Beispiel ein einzelner Parabelbogen von 3 bis 4 Sekunden, dann noch ein Sägezahn zwischen 8 und 10 Sekunden, sonst nichts), in den Frequenzbereich transformieren, bekommst also auch hier die Frequenzen, die diese beiden einmaligen Vorgänge enthalten. Bei solchen sogenannten Transienten ist das Spektrum dann eine kontinuierliche Funktion, hat also keine Lücken. Die wiederum entstehen erst bei dem "Sonderfall", dass das Zeitsignal periodisch ist. Und dann kann man die Rechnerei auf die Formel in Bild B reduzieren. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 27.02.2014, 20:10 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Ahh, danke! Ich glaube ich habs nun verstanden. Die fourier-transformation ist erstmal die grundlage sozusagen, d.h. man kann ein beliebiges Signal hernehmen(egal welches), also z.b. einen bestimmten Zeitabschnitt T und das kann man dan im Frequenzbereich darstellen. Genau diesen abschnitt. Bei einem periodischen Signal(was es nicht gibt) kann man jedoch auch die fourier-reihe anwenden. hier entspricht T der periodendauer. Und naja wenn man nun sich die ausgerechnete Fourier-reihe genau anschaut, sieht man doch nun jede einzelne teilschwingung hier. also es steht ja natürlich auch die frequenz dabei. also: 5+sin(wt)+cos(2wt) z.b. --> das signal enthält die frequenzen 2w und w Hab ich das nun richtig verstanden? Bei der reihe bekommt man gleich alle teilschwingengen bzw. logischerweise die frequenzen und bei der transformation bekommt man halt nur eine frequenz(für den bestimmten Zeitbereich T, was man ausgewählt hat), richtig? |
||||||||||||||||||||||||
| 28.02.2014, 09:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe
Ja, das ist richtig.
Nein, auch da bekommt man unendlich viele Teilfrequenzen. Aber eben nicht nur die Grundfrequenz (es gibt ja keine!) und deren Vielfache, sondern ein kontinuierliches Spektrum, eine stetige Kurve also. Ein einfaches Beispiel ist ein einzelner kurzer Rechteckimpuls im Zeitbereich. Im Frequenzbereich wird der zur sin(x)/x-Funktion: Das sind dann die Amplituden (Phase lass ich jetzt mal weg) der unendlich vielen Sinusschwingungen (deren Frequenzen auch noch unendlich nah beieinander liegen). Gleichanteil von 1, bei Frequenz 1 sind's etwa 0,9, bei 2 etwa 0,5, bei ungefähr 3 eine Nullstelle. Aber dazwischen sind eben auch noch Schwingungen. Und die alle ergeben dann aufeinanderaddiert wieder den einzelnen Impuls. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 28.02.2014, 17:41 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ok, danke schon langsam wirds! Aber z.b. bei der Reihe(angenommen man hat ein periodisches Rechtecksignal) kommen ja ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz vor. Beim Rechteck alle ungeraden Zahlen(3,5,7...) mal die Grundfrequenz. Aber wie ist es nun hier bei der Transformation? Da kommen ja einfach ALLE frequenz vor oder? Ist ja kontinuierlich, aber warum bitte? Wo ist der der Sinn daberi? LG Integraluss |
||||||||||||||||||||||||
| 28.02.2014, 18:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Weil Du einfach alle diese Frequenzen brauchst, um einen einzigen Impuls zu bilden, und vorher und nachher unendlich lange Stille. EDIT: Du kannst ja mal das Spektrum mit Amplitude und Phase eines einzigen solchen Impulses berechnen und anschließend diesen Impuls wieder konstruieren. Muss ja nicht so fein aufgelöst sein, Frequenzen im Zehntel-Abstand sollten reichen. Du wirst sehen, wie die einzelnen Schwingungen sich zum Impuls in der Mitte zusammentürmen, links und rechts davon allmählich auslöschen. Wäre der Puls periodisch, hätte das Spektrum wieder Linien im Abstand des Periodenkehrwerts. Periodisches Zeitsignal - Linienspektrum Einmaliger Zeitvorgang (Transient) - kontinuierliches Spektrum |
||||||||||||||||||||||||
| Anzeige | ||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
| 01.03.2014, 22:17 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Danke für deine Antwort!
Ich verstehe nicht ganz was du damit meinst. Meinst du mit Impuls einen Zeitabschnitt von irgendeinem Signal im Zeitbereich? Oder was kann ich mir darunter vorstellen? Bitte erklär mir genau was du damit meintest, dann kann ich auch den rest des Absatzes verstehen. Vielleicht hast du auch ein Bild parat 
.Danke im Voraus! mfg Integraluss |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 13:45 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Kann mir wer helfen bitte
? |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 14:52 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe hallo, ist dir denn klar, was fouriertransformation überhaupt bedeutet? Dass man sich einen vorgang oder einen impuls als summe von periodischen schwingungen vorstellt? Und dass man mit der fouriertansformierten einer funktion diese periodischen schwingungen "auslotet"? gruss ollie3 |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 15:39 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Danke. Was meinst du mit ausloten? Naja wenn man ein unperiodisches Signal hat und dieses immer wieder aneinander reiht, dann kann man leicht die Fourier-reihe anwenden, da es dann ein periodisches Signal ist. Ich dachte imm man hat z.b. ein nichtperiodisches Signal (Klick!) und die Periodendauer ist da ja unendlich, also integriert man einfach von -unendlich bis +unendlich, wenn man sich Bild C so anschaut. Was hast du da genau gemeint? |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 16:39 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe hallo, selbstverständlich kann man auch unperiodische signale fouriertransformieren, die formel in bild c beschreibt das richtig, mit dem ausloten ist gemeint, dass man sich das frequenspektrum der vorgegenen funktion genau anguckt, klar die zeit t läuft von - unendlich bis + unendlich, aber der integrand wird ja mit e^(-i omega t) gewichtet und damit nicht unendlich, und man erhält so jeweils den anteil des signals für die frequenz omega. gruss ollie3 |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 17:09 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe Achso, d.h. also, dass immer von Signalanfang bis Signalende integriert wird(obwohl -unendlich bis +unendlich ist ja nur eine Absicherung, dass man das ganze Signal erwischt, denn vorm Signalanfang bzw. nach dem Signalende ist ja s(t)=0, also da ist ja nix, d.h. im Endeffekt holt man sich die Fläche einfach unter dem ganzen Signal) --> Habe ich das so richtig verstanden? Aber was bringt das Signal s(t) mit dem e^.... zu multiplizieren? Was kommt dann raus? Und von dem Produkt holt man sich ja diese Fläche und der Mittelwert von dieser soll dann das kontinuierliche Spektrum darstellen? Aber w verändert sich ja auch nie, wie soll im Spektrum dann alle Frequenzen enthalten sein? (Bei der fourier-transformation jetzt) |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 17:31 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe hallo, es ist sogar sehr wichtig, das signal in dem integral mit e^(-i omega t) zu multiplizieren, denn dadurch filtert man in dem integral den anteil von s, der die frequenz omega hat, heraus, denn man stellt sich bei der fouriertransformation s als unendliche summe von periodischen schwingungen vor und will die einzelnen anteile genau bestimmen. gruss ollie3 |
||||||||||||||||||||||||
| 02.03.2014, 18:16 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe
Also diese letzten Satz verstehe ich nicht wirklich. Im Anhang habe ich mal eine Tabelle da gelassen, wo man den S(w) und s(t) sieht. Also man nimmt das Signal s(t) und wiederholt es unendlich --> periodisch. Aber was bringt das? Wenn ich die einzelnen Anteile bestimme dann kann ich gleich Fourier-Reihe mit dem machen. Ein weiteres Problem ist, wenn man z.b. Zeile 1 in der Tabelle betrachtet, dann sieht man ja das dies S(w) für die Frequenz w ist, aber da stecken doch mehrere Frequenzen drinnen wie man im Spektrum sieht, es ist ja kontinuierlich. Ist w hier die Grundfrequenz von s(t), oder was setzt man für omega ein, wenn man nun diese S(w)-formel anwendet bzw. wie weiß man dann das w von s(t)? |
||||||||||||||||||||||||
| 03.03.2014, 09:48 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
| RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe hallo, ich glaube dir sind grundsätzliche sachen wie der übergang von fourierreihen zur fouriertransformation nicht klar. Es ist doch gerade der sinn der fouriertrans- formation , dass man für jede frequenz omega angeben kann, welchen anteil die schwingung mit der frequenz omega s(t) als überlagerung von letztlich unendlich vielen periodischen schwingungen hat. Bei den einfachen fourier- reihen betrachtet man nur eine bestimmte frequenz und berechnet dann die vorfaktoren zu den sinusschwingungen, bei der fouriertransformation geht man kontinuierlich alle frequenzen durch und erhält dann das gesamte spektrum. gruss ollie3 |
||||||||||||||||||||||||
| 03.03.2014, 09:57 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Fouriertransformation und Fourier-Reihe
Gut. Dann nehmen wir doch gleich das erste Beispiel, eben den einzelnen Rechteckimpuls.
Nein, das tut man eben nicht. Es ist ein einzelner Impuls, links und rechts davon ist s(t) unendlich lang Null.
Du setzt die Frequenzen ein, an denen Du interessiert bist. Bei Ti=1 ergibt sich zum Beispiel S(0)=1 S(0,1)=0,98 S(0,2)=0,93 und so weiter. Das sind ausschließlich reelle Zahlen, also kannst Du hier eine reine Cosinusreihe verwenden, wenn Du das Zeitsignal wieder rekonstruierst. EDIT: eine Formel gelöscht. Du kannst Dir ja mal die Mühe machen, dies zu berechnen, dann wird es am schnellsten klar, was hier passiert. Natürlich wirst Du nicht jedesmal unendlich viele Cosinusschwingungen aufaddieren, aber beispielsweise zehn davon (von f=0,1 bis f=1,0) zeigen schnell, dass ein einzelner Impuls entsteht: Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 04.03.2014, 21:05 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke, aber so ganz ist es mir noch net klar, nur teilweise.
Angenommen wir haben so ein Signal s(t)(http://small-project.eu/keyresults/exDeclipping.png) und dieses geht von 0 bis 0.05s. Also s(t) = 0 für 0>t>0,05. Wir wollen dieses nun im Frequenzbereich irgendwie darstellen. Dadurch, dass das Signal nicht periodisch ist müssen wir die Fourier-transformation anwenden. Auf dem Bild C sieht man ja die formel für S(w). 1. Setzt man jetzt für w ein? Und S(w) ist ja dann sozusagen die Amplitude vom dem Spektrum, richtig? Und nur so bildet man das Spektrum von dem Signal? Einfach den x-Wert einsetzen und y-Wert bekommen und dann Graphen zeichnen? 1.1 Was hat das für einen Sinn, aber? Ist die Amplitude wichtig von dem Spektrum? Was sagt uns das, wenn die Amplitude = 0 ist bei der Frequenz X, was sagt sie uns, wenn die Amplitude an der höchsten Stelle ist bei Frequenz X? 1.2 Aber, wenn ich so die Tabelle schaue fällt auf das bei der höchsten Amplitude die Frequenz=0 ist, warum? Was bedeutet das? 2. Ich denke man integriert immer in dem "Zeitbereich", also in unserem Fall von 0 bis 0,05, richtig? Da ja rest s(t)=0 ist. Also ist es egal ob von -unendlich bis +unendlich, oder halt so vereinfacht. Hab ich das so richtig verstanden? 3. Wie komme ich eig. auf s(t)? Also wie berechnet man s(t), wenn so ein "wirres" Signal vorliegt? mfg |
||||||||||||||||||||||||
| 05.03.2014, 09:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Gut. Das ist jetzt kein Impuls, sondern offenbar ein kurzes Gemisch aus mehreren Frequenzen, ein Stakkato-Klang sozusagen. Ich kopier's mal rein, damit andere auch was davon haben: [attach]33451[/attach]
So ist es. Und dann bekommen wir nach einiger Rechnerei die Gleichung S(w)=...
Genau das! Um's mal praktisch auszudrücken: man sieht im Zeitsignal z.B. mehrere Hochpunkte im selben Abstand (etwa 0,015s). Da schlägt also etwas periodisch aus, die Frequenz ist dann etwa 67Hz. Für w=2*pi*67 erwarte ich also eine hohe Amplitude im Spektrum. Aber keinen einzelnen Strich (denn das Zeitsignal ist nicht periodisch), sondern eine sin(x)/x-Funktion, die ihr Maximum dort hat. Eine weitere bei 2w, bei 3w, und so weiter. Es sind natürlich, wie man sieht, noch einige weitere Regelmäßigkeiten im Signal zu sehen, es wird somit noch einige solche Amplituden im Spektrum geben.
Sinn, nun ja. Zunächst mal ist es nur eine Transformation: Du kannst ein Signal auf zwei verschiedene Weisen beschreiben, die ohne Verlust ineinander überführbar sind. Ich persönlich finde es faszinierend, einen Ton auf einer Klarinette von dem einer Flöte unterscheiden zu können. Im Zeitbereich hast Du da meistens keine Chance. Im Spektrum siehst Du sofort die Frequenz des Grundtons und die ganzzahligen Vielfachen davon. Bei der Trompete sind diese Harmonischen viel stärker ausgeprägt, der Klang ist "schärfer". In Deinem Beispiel könnte man z.B. überlegen, woher die 67 Hertz kommen. Das ist ja ein recht tiefer Ton, ein kurzes Brummen also. Eine Maschine? Ein Klavier? Das Spektrum liefert den "Fingerabdruck", um so etwas zu unterscheiden. Auch wüsste man nun, dass ein Lautsprecher mindestens bei 67 Hertz losgehen muss, um diesen Klang wiederzugeben. Dein Handy hätte hier Schwierigkeiten. Nun könnte man solch ein Spektrum auch "manipulieren", indem man Frequenzen rausnimmt, die der Mensch eh nicht hört: Anteile über 20 kHz, nach beieinanderliegende Amplituden durch eine ersetzen. Es geht unnötige Information verloren, dadurch wird, wenn man's speichert, der Speicherplatz geringer: das Prinzip einer mp3-Konvertierung. Du kannst bei einem Bild ebenfalls beschreiben, wie scharf es ist, denn ein schneller Übergang von Schwarz zu Weiß wird sich im Spektrum als hohe Frequenz zeigen. Unscharfe Bilder haben sowas nicht. So kann man einen Autofokus programmieren. So, jetzt aber genug aus dem Nähkästchen. Das sind nur praktische Anwendungen, in der Mathematik gibt es strenggenommen keinen "Sinn". (duck)
Du meinst jetzt wieder die Tabelle unseres Impulses, nehme ich an. Ja, das ist so richtig. Frequenz Null bedeutet, es ändert sich nichts, es bleibt immer gleich. Und ein Impuls, der nur positive Werte hat, braucht auf jeden Fall solch eine Nullkomponente, einen Gleichanteil. Denn versucht man ihn nur aus Sinusschwingungen zusammenzubasteln, wird er symmetrisch um Null sein, denn der Sinus ist eben auch symmetrisch um Null. Du musst ihn zum Schluss also "anheben", und das erledigt die Nullkomponente.
Nein, es ist nicht egal! Wenn Du nur von 0 bis 0,05 arbeitest, "denkt" die Fourierformel, dass es dann so weitergeht. (In dem Beispiel von Dir geht es wahrscheinlich auch so weiter, da könnte man das tun. Aber wir wollen ja den Unterschied verstehen.) Stell Dir einen Piepston von 1kHz vor. Wenn der unendlich lang ist, darfst Du die Rechnerei verkürzen und nur eine Periode integrieren. Du hast damit die Unendlichkeit vereinbart. Das Spektrum wird dann eine einzige Linie bei 1kHz zeigen. Wenn's aber nur eine Sekunde lang piepst und vorher und nachher ist Schweigen im Walde, dann sieht das Spektrum total anders aus! Du hast lauter ineinander verschachtelte sin(x)/x-Funktionen, eine bei 1kHz, die nächste bei 2kHz, bei 3kHz und so weiter. Es ist ja auch ein anderer Klang fürs Ohr.
Mit der Rücktransformation. Du berechnest die einzelnen Spektralkomponenten S(w), das sind dann die Amplituden An für s(t), die Du dann mit den unendlich vielen entsprechenden Sinusfunktion multiplizierst. So arbeitet ein Synthesizer. Aber ich schweife schon wieder ab ins Praktische... Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 05.03.2014, 14:17 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke dir! So kommen wir gut voran, schon langsam komme ich rein.
(nur aus leichten formalen Gründen mehrmals editiert)
1. Du meinst von 0 bis 0,015 und von 0,015 bis 3 ist in etwa gleich? Und das kann man als periodisch sehn? 2. Warum ist die Frequenz dann 67Hz? Wie kommst du auf das? 3. Warum erwartet man für w=2*pi*67 eine hohe Amplitude im Spektrum? 4. Stimmt, keinen einzelnen Strich, da das Zeitsignal unperiodisch ist. Was ist an sin(x)/x so besonderes? Warum kommt gerade diese da vor? Kommt diese Funktion in jedem Spektrum vor? 5. Warum hat diese Funktion ihr Maximum dort? Wie willst du das wissen? 6. Es sind noch weitere Regelmäßigkeiten im Signal?
Man sieht den Grundton und die ganzzahligen Vielfachen? Aber nur wenns ein periodisches Signal wäre und man die Fourier-Reihe anwendet und anschließend das Linienspektrum aufmalt, richtig? Weil so sieht man es ja am einfachsten. In einem kontinuierlichen Spektrums sieht man ja ALLE Frequenzen.
1. Also, ist so ein Spektrum gut, dass man z.b. irgendwelche störende Töne findet und dann wegschaltet 2. Was mein Verständnisproblem derzeit noch ist, ist das ich, wenn ich mir z.b. jetzt das Spektrum vom Rechteckimpuls anschaue auf meiner Tabelle, dann weiß ich nicht wirklich was ich daraus jetzt ziehen soll, also was sagt es aus? 2.1. Sind da nun ALLE Frequenzen aufgelistet, die in dem Impuls vorkommen? Also auch Grundfrequenz, Gleichanteil etc.?
1. Ja der Gleichanteil wird doch bei der Fourierreihe einfach dazu addiert und so mit geschieht das "anheben". Was hat das mit der Transformation und mit dem Frequenzspektrum zu tun? 2. Naja, wenn die Frequenz=0 ist, ist S(w) maximal. Was hat das nun zu bedeuten? Was sagt die Amplitude aus in so einem Spektrum?
Hm, stimmt. Es "denkt" dann genau dieser Abschnitt ist eine Periode. Die Formel von S(w) ist ja im Prinzip das Cn auf Bild B. Also geht das nur am PC ein Integral von -unendlich bis +unendlich zu rechnen denke ich. Mit der Hand wirds wohl schwer gehn. Obwohl, man weiß ja selbst, dass vor dem Signal und dahinter die Fläche 0 ist
. Hm..
Also aus den Aussagen entnehme ich das die Voraussetzung für eine Fourier-Reihe ein unendlich langes periodisches Signal ist, richtig?
Ja, genau! Und das verstehe ich nicht so recht(vielleicht ist es ja schon klar geworden, wenn du die oben genannten Fragen schon beantwortet hast), dass auf einmal viele andere Frequenzen dazu kommen, wenn man auf einmal nur so einen Impuls(also 1s ist irgendwas und dann alles Null) hat.
Ja, aber wenn wir uns die Formel für S(w) in Bild C anschauen, dann ist doch dieses s(t) drinnen. Wie bekommt man das s(t)? Soll man nun wirklich die Rücktransformation dafür benutzen? Wir haben aber doch kein S(w) und um S(w) zu berechnen zu können brauchen wir wieder das s(t). Angenommen wir haben einen Dreieck-Impuls vor uns und wir sollen den im Frequenzbereich darstellen, somit brauchen wir s(t). Hier ist das s(t) einfach zu berechnen, weil das ja nur eine lineare funktion ist(k*x+d). |
||||||||||||||||||||||||
| 05.03.2014, 15:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Nein, ich meine, dass sich im Zeitschrieb ein Ereignis regelmäßig im Abstand 15ms wiederholt: [attach]33453[/attach] Und was im Zeitbereich regelmäßig auftaucht, verursacht eine deutliche Amplitude im Spektrum. Und was alle 15ms auftaucht, verursacht eine Linie bei der Frequenz f=1/(15ms)=67Hz.
Weil w=2*pi*f.
Nur, wenn irgendwo Rechteckpulse im Zeitbereich auftauchen, als reine Pulse oder auch als Zeitfenster, in denen irgendwas passiert. Wären diese Rechteckpulse dreieckig oder gar gaussförmig (gibt's auch), würde sin(x)/x durch was anderes ersetzt. Aber Rechteck ist technisch halt am einfachsten (einschalten/ausschalten), darum müssen sich die Ingenieure damit am meisten rumschlagen.
Du kannst Dir die vier markierten Stellen im Signal als Hochpunkte eines Sinus vorstellen. Der hat dann eine ziemlich hohe Amplitude. Andere denkbare Sinusschwingungen dagegen haben nicht so große Ausschläge.
Ja, zum Beispiel siehst Du zwischen den markierten Stellen kleinere Spitzen. Alle acht Spitzen kommt wieder eine markierte Stelle. Auch diese Regelmäßigkeit wird sich bei 8*67Hz als Peak wiederfinden.
Ja, alle. Von Null bis unendlich. So ein Knacks (um den handelt es sich ja akustisch) hat alle Frequenzen drin. Je kürzer der Knacks, desto stärker die hohen Frequenzanteile. Aber vorhanden sind sie alle. Deswegen schwingt eine Stimmgabel nicht nur, wenn Du sie mit 440Hz beschallst, sondern auch, wenn Du einen Luftballon zerplatzen lässt: der Knall enthält alle Frequenzen, auch 440Hz.
Das ist doch dasselbe! Aus der Fourierreihe ist nun eben eine Funktion geworden, deren Funktionswerte jeweils alle mit einer Sinusschwingung multipliziert werden müssen, damit sie das Zeitsignal ergeben. Jeder w-Wert bekommt eine sinwt-Schwingung. Jeder: 0,0001 genauso wie 42 genauso wie 47110815. Und alle diese Schwingungen addiert ergeben wieder das Originalsignal. Ich gebe zu, das ist zum Vorstellen nicht leicht, aber genau das ist es.
Gut erkannt! Es sind nämlich nur drei Abschnitte: der linke mit Null, das Signal und der rechte mit Null. Das ist nicht schwer zu integrieren.
Ja, so ist es.
Ja, das war für mich zunächst auch überraschend. Wie gesagt, denk an einen Knall oder Knacks, der auch fürs Ohr keinen bestimmten Grundton hat. Stattdessen ist er dasselbe wie weißes Rauschen: alle Töne gleichzeitig.
Ach, Du meinst, von einem Rechteckimpuls? Das ist doch auch nur eine abschnittweise definierte Funktion, halt nicht linear wie beim Dreieck, sondern konstant. Also z.B. s(t)=1 für -1<t<1, sonst 0. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 05.03.2014, 17:19 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke!
Aber in unseren Signal kommen ja keine Rechtecksignale vor, bin ein bisschen verwirrt. 
Ich finde den Zusammenhang nicht zwischen Amplitude im Zeitbereich und im Spektrum.
Also auch diese acht spitzen kann ich mir als hochpunkte des sinus vorstellen und naja, die Frequenz ist ja höher jetzt, weil mehr "schwingungen" drinnen sind richtig? Aber warum so analysieren, wenn sowie so ALLE Frequenzen drinnen sind?
Mit einer Sinusschwingung? Meinst du bei Bild C das e^...? Das ist ja die eulerische Formel, wo cos auch enthalten ist(aber ein cos ist ja eine sinusförmige Schwingung). Ich verstehe gerade nicht was du damit meinst. Hättest du vielleicht eine genaue Formel dafür bitte? Oder vielleicht ist sie eh auf meinem Bild.
Ja, aber ich sagte doch vorher, dass wenn man von 0 bis 0,5 integriert, dass passen würde? Weil man eh weiß das die Fläche hinter dem Signal und vorher = Null ist? Du hast gesagt, dass das Fourierintegral dann "denkt", dass Signal ist periodisch. Aber hmm wir unterscheidet man das dann wirklich?
Ja aber wenn ich nun einen 440Hz Ton 2sec. lang abspiele, dann enthält der doch alle Frequenzen. Und Wenn ich den Ton unendlich lang abspielen, dann auf einmal nur die ganzzahligen vielfachen der Grundfrequenz?
Sorry, ich habe mich wohl nicht so toll ausgedrückt. Ich meinte unser Signal s(t), dieses komische unperiodische Signal da, keinen Impuls. Also wie kommt man da auf s(t), wenn man nur das Bild vor sich hat. Wie kann man dieses Signal math. beschreiben? Hmm, aber leider verstehe ich folgendes noch immer nicht: Nehmen wir bitte Tabelle-Zeile 1 her, also der Rechteckimpuls: Hier sind ja ALLE Frequenzen enthalten. Und wie es aussieht, ist ja bei sehr hohen Frequenzen die amplitude des Spektrums null, aber gerade bei der Frequenz=0 ist die Amplitude maximal. Oder bei 1/T ist die Amplitude auch null. Also, die endgültige Frage: Was sagt die Amplitude aus, in einem Frequenzspektrum? Um wieder auf unser anders Signal zurückzukommen: Ich glaube es wäre am besten, wenn ich ein Spektrum von diesen Signal hätte. Hast du vllt ein anderes ähnliches Signal und das Spektrum davon bitte? Weil so kann ich auch sehn wo genau die 67Hz da jetzt sind und was das zu bedeutet. Wenn ich das alles Grafisch habe ist es viel verständlicher finde ich. |
||||||||||||||||||||||||
| 05.03.2014, 17:41 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Doch, es ist halt nur mit dem Signal multipliziert. Es geht von 0 bis 50ms und hat die den Wert Eins.
Der ist einfach: ein (unendlich langer) Sinus der Amplitude 1 und der Frequenz f ergibt im Spektrum eine Linie der Höhe 1 an der Stelle f.
Weil Du auch wissen willst, mit welcher Amplitude die einzelnen Frequenzen vorhanden sind.
Nein, das ist es nicht. S(w) ordnet jeder Frequenz w eine komplexe Zahl zu. Im Bild ist nur der Betrag zu sehen, also das Amplitudenspektrum aber es gibt auch ein Phasenspektrum dazu. Nun nimmst Du ein beliebiges w, und berechnest diese komplexe Zahl. Du erhältst eine Amplitude r und eine Phase phi, die Dir die Schwingung sw(t)=r*cos(wt+phi) beschreibt. Und, wie gesagt, alle, alle diese Schwingungen ergeben dann zusammen addiert die Originalschwingung s(t).
Genau so ist es. Das musst Du einfach schlucken.
Zunächst mal in der Tat gar nicht, das ist eine wilde Kurve, sonst nichts. Du kannst es allerdings Stück für Stück in eine Tabelle übertragen. Und dann kannst Du wieder integrieren, denn Integrieren ist ja nichts anderes als Aufaddieren. So macht man das auch tatsächlich: wenn man erst eine solche Tabelle mit Abtastwerten hat, ist es nicht schwer, daraus das Spektrum zu berechnen. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 00:32 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ok, danke! Jetzt verstehe ich es!!(hoffe ich 
)Ich fasse es nochmal kurz zusammen: Die Fourier-Reihe kann man nur bei unendlich langen periodischen Signalen anwenden. Die Fourier-Transformation funktioniert nur bei nichtperiodisch Signalen. Ein Signal ist auch dann nichtperiodisch, wenn ein endlich periodisches Signal vorliegt(vor und hinter dem Signal --> s(t)=0). Ein nichtperiodisches Signal hat die Periodendauer = unendlich! Folgendes gilt für Fourier-Reihe und -Transformation: Jedes Signal kann als unendliche Summe von sinusförmigen Schwingungen dargestellt werden. Fourier-Reihe --> ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz Fourier-Transformation --> Alle Frequenzen (Bestimmte Frequenzen werden sowieso mit den Null-Amplituden eliminiert) Habe ich das so richtig verstanden? Aber ein paar Fragen sind noch offen: 1. Mit Rechtecksignal, meinst du eine sog. Fensterfunktion? Man hat irgendein Signal und sucht sich einen bestimmten Abschnitt aus vom Signal, den man haben möchte und multipliziert es im Zeitebereich mit einem Zeitfenster bwz. Rechtecksignal, der die Breite von dem Fenster halt hat. Aber warum hast du dieses Thema eingebracht, das Rechtecksignal schneidet ja nur den Abschnitt raus? Erklär mir das bitte nochmals. 2. Ich weiß jetzt zwar wie man formeltechnisch, die ganzen Amplituden berechnet und alles andere etc., aber... Die Amplituden in unseren "komischen" Signal s(t) haben ja nicht wirklich mit den Amplituden zu tun, die in der Summe von sinunsschwingungen auftreten(die übrigens s(t) repräsentiert). Richtig? Und die Formel dazu ist ja, wie du sagtest, sw(t)=r*cos(wt+phi). In der Fourier-Reihe sind ja diese sw(t)'s sin() oder cos(). Wie ist es dann hier bei der Transformation? Gibt es hier keine sin()? Ist ein bisschen verwirrend. Bei der Reihe ist die Amplituden-Formel Cn, wie man in Bild B erkennen kann und bei der Transformation ist das dieses S(w) in Bild C. Nur wie bist du dir sicher das die Frequenz 8*w drinnen ist? Du weißt ja nicht mal wie die Amplitude im Spektrum aussieht, weil wenn sie 0 ist, dann existiert diese Frequenz doch gar nicht in der Summe, die s(t) repräsenteiren. Es gibt 4 Höhepunkte und daraus hast du geschlosen das die Periodendauer 15ms ca. ist, was klar ist. 1/15=67Hz und dann ist halt das diese Grundfrequenz. Und weil in den 15ms auch noch 8 so kleinere schwingungen drinnen sind, kann man dem entnehmen das, dass 8*w ist, aber naja wie willst du wissen ob diese auch da wirklich exisiteren, man sieht erst im Spektrum, wie groß die Amplitude da ist. Also sagt die Amplitude von unseren "komischen" s(t) nichts aus über das alles? Erst die Amplituden von sw(t), richtig? 3. Schau bitte auf mein Bild, auf der rechten Seite steht ja, dass eine Bedingung(dass man nur endliche signale transformieren kann) nur hinreichend ist, aber nicht notwendig. Was so schlimm unendliche Signale zu transformieren? Geht es um das, dass die fläche null wird bei sin(t)? Aber der Betrag verhindert das ja! Der klappt die neg. hügeln nach oben. Was hat das zu bedeuten? |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 09:41 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Deine Zusammenfassung ist richtig, bis auf den Satz
Sie funktioniert durchaus auch bei periodischen Signalen. Ein unendlicher Sinus ergibt auch da eine einzelne Linie im Spektrum! Zur Berechnung muss man sich allerdings mit so schrecklichen Sachen wie Dirac-Funktionen und Heaviside-Distributionen beschäftigen.
Ja, genau.
Ähm, Du warst es, der Abschnitte transformieren wollte. 
Das Beispiel mit dem einzelnen Rechteckimpuls und auch mit dem "komischen" Zeitsignal, das vorher und nachher Null sein soll, kam von Dir, erinnerst Du Dich?
Und bei rechteckig abgeschnittenen Zeitsignalen kommt halt automatisch der Rechteckimpuls rein, und damit die sin(x)/x-Funktion im Spektrum. Dass das "komische" Signal auch als periodisch angesehen werden kann (was ich persönlich in diesem Fall auch tun würde), ist etwas anderes.
Wie man's nimmt. Schau mal diese Zeitfunktion an: Du kannst da doch (ohne die Formel anzuschauen) eine langsame Sinusschwingung großer Amplitude erkennen, oder? Wenn Du Dir das "Gezappel" wegdenkst, kannst Du mit einem dicken Edding einen sauberen Sinus als Ausgleichskurve reinzeichnen. (Nein, ich zahl Dir keinen neuen Monitor.) Der hat eine Frequenz und eine Amplitude. Und genau diese Zahlen werden auch im Spektrum erscheinen. Nun zum "Gezappel". Bezogen auf die Edding-Kurve ist das ja auch ein Sinus, der halt überlagert ist. Er geht also (wieder bezogen auf Edding) mit einer bestimmten Frequenz und Amplitude rauf und runter. Und diese beiden Zahlen werden auch wieder als Linie im Spektrum erscheinen. So gesehen haben die Amplituden im Zeit- und Frequenzbereich durchaus miteinander zu tun. Und die Fouriertransformation macht nichts anderes als der Edding, sehr lapidar ausgedrückt. Ich hab Dir ja vor einiger Zeit hier mal was dazu geschrieben, vielleicht liest Du's noch mal durch.
Natürlich gibt's die! Denk daran, dass sin(x)=cos(x-pi/2). Das phi ist hier halt -90°.
Schlimm nicht, aber, wie gesagt, nicht ganz einfach (Dirac und Co.). Daher gehen die auch nicht weiter drauf ein. Ich würde mir an Deiner Stelle hier auch keinen Kopf machen. Man kann nun mal einen unendlichen Sinus transformieren. Nicht dagegen eine unendliche Parabel. Den Beweis können wir anderen überlassen, die das besser hinkriegen.
Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 14:12 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke!
Ja ok, stimmt
. Wenn man das Signal mit dem Rechteck multipliziert, verschwindet ja der rechteck nicht einfach.Also sozusagen ist dann IMMER so ein sin(x)/x im frequenzbereich drinnen? (vorausgesetzt man multipliziert mit einem rechteck)
Jo, stimmt, jetzt verstehe ich, dass die Amplituden doch was miteinander zu tun haben. Naja die fourier-transformation zerlegt halt nicht nur diese Schwingung, die du gezeichnet hast, in die Eddingkurve, sondern auch in auch in Summe von solchen verschiedenen sinförmigenschwingungen. Weil wenn man das Signal anschaut kann man ja sehn das, dass gezappel auch eine bestimmte Frequenz hat. Die Edding-Kurve ist halt nur die Grundschwingung. Also besser ausgedrückt: Pro einmal Transformieren bekommt man eine sinusförmigeschwingung mit einer bestimmten frequenz. Eigentlich bekommt man ja irgendeinen wert S(w) mit der Frequenz w. Aber diese 2 Werte repräsentieren die sinusförmige Schwingung mit der Amplitude S(w) und der Frequenz w. Richtig? Zu dem Beitrag vor langer Zeit: 1. "Das Signal mit einem sin(x) multiplizieren mit der jeweiligen Frequenz" --> bei der Transformation ist dies ja dieses e^...., richtig? Nur kommt da halt ein imaginärteil dazu und halt die negativen Frequenzen. Naja bei der Reihe kann es auch dieses e^ sein. Es ist doch nur ein andere Darstelllungsart. Hab ich Punkt 1 richtig verstanden? 2. In deinem letzten Absatz schreibst du ja wie man den Mittelwert berechnet und das macht eben die Formeln für Cn in Bild B(in meinen Bild) und die Formeln auf der linken Seite für a_n und b_n. Naja und wie gesagt Cn und a_n bzw. b_n sind ja die Amplituden der sinusförmigen Schwingungen. A: Und Frequenz 1 und Frequenz 2 in deinem Bsp im alten Beitrag fallen weg, da der Mittelwert(also die Amplituden) = 0 sind. (Ober und unter dem Signal gleiche Flächen). Frequenz 3 hat eine Amplitude. Warum muss man mit 2 multiplizieren? Gibt es dafür eine simple Erklärung oder muss man da wild umherrechnen
?Z.b. Wenn man sie die komplexe Darstellung anschaut, da muss man ja Cn halbieren(zumindest im Spektrum), da es ja auch negative Frequenzen gibt(naja diese sind nicht real, aber man benötigt diese halt zur komplexen Darstellungsweise). Aber warum mal 2 multiplizieren bei a_n und b_n? B: Bei der Fourier-Reihe gibt es auch noch einen Gleichanteil, der einfach zur Reihe addiert wird. a_0 ist das auf meinem Bild. Also es ist der Gleichanteil bzw. Mittelwert von dem normalen Zeitsignal s(t), also ohne jetzt sin oder was anderes zu multiplizieren. Was bringt es die Summe von sinusförmigenschwingungen um a_0 anzuheben? B.1: Bei der komplexen Darstellungsweise gibt es das nicht, warum nicht? --> Auch bei der Fourier-Transformation kommt kein so ein Mittelwert vor, irgendwie, why? Gruß Integraluss |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 15:31 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ja, so ist es.
Dieses "pro einmal Transformieren" verstehe ich nicht genau. Es reicht eine einzige Transformation, um die Funktion S(w) zu bekommen! Die zeigt für alle Frequenzen w jeweils Amplitude und Phase. Beim Beispiel mit zwei Sinusschwingungen sind die Amplituden halt nur an zwei Stellen ungleich Null, bei einem Impuls sind fast überall Werte vorhanden.
Ja, denn Im Beispiel hätte man also vollständigkeitshalber auch noch mit cos mulitplizieren müssen, das hab ich mir gespart, weil da nur Null rausgekommen wäre und es ja nur der Veranschaulichung diente.
Ich könnte jetzt sagen: "weil's in der Fourierformel so steht". Aber schauen wir uns an, was eigentlich passiert, wenn wir ein a*sinx mit einem weitern sinx "herausfiltern": (ich hab nur die Obergrenze eingesetzt, die Untergrenze Null ergibt eh Null) Siehst Du? Es kommt nur die halbe Amplitude raus.
Doch, in beiden Fällen gibt es einen Gleichanteil, und zwar den Wert S(w) für w=0. Denn ein Gleichanteil hat die Frequenz Null - er ändert sich nie. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 17:05 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Hmm, ist doch ein bissschen vewirrend. Das Integarl bei der S(w) Formel, ist doch unsere "Summe", dass die ganzen Schwingungen im Prinzip addiert? Und darum bekommt man alle Frequenzen w jeweils mit Amplitude und Phase, richtig? Aber das verwirrende ist: Man setzt ja immer wieder ein S(0.1), S(0.2) etc. Und das meine ich mit einmal transformieren(Also zuerst S(0,1) --> Punkt zeichnen --> S(0,2) --> Punkt zeichen etc., bis Spektrum fertig ist). Das sind doch mehrere Vorgänge? Muss man jetzt nicht so durch gehen? Wir haben das doch mal gesagt au dem ersten Beitrag dieser Seite. Also wenn man S(w) hat und w steht ja for ALLE Frequenzen, diese muss man da alle einsetzen von w --> von 0 bis unendlich und dann hat man ein Spektrum, oder habe ich das falsch verstanden? Du sagtest nämlich auch "Stell Dir die Fouriertransformation wie ein Filter vor, das nur eine einzige Frequenz aus einem Gemisch rausholt.". Und wenn ich S(0,1) mache, dann hole ich genau eine sinusschwingung mit 0,1hz mit ihrer amplitude und phase raus, so habe ich das verstanden. Aber eig. ist das blödsinn, da das Integral doch das ganze summiert eig., also jetzt bin ich verwirrt.
1: Ist das die a_n bzw. b_n Formel auf meinem Bild? Wenn ja dann wäre ja am Schluss bei 5: a_n=a/2. Das verstehe ich nicht so recht. Kommt bei jeder Funktion sowas raus? Was ist mit Dreieck, oder Rechteck? Gäbe es für das auch eine andere Begründung, außer die mathematische? Vllt. graphisch begründen? Ich kann mich nicht mehr erinnern, hab mal gesehn wie das wer graphisch erklärt hätte. sin(x)*sin(x) hat ja die doppelte Frequenz wie sin(x) und ist um 2xAmplitude von sin(x) nach oben verschoben. Weist du das zufällig?
Was meinst du mit ändert sich nie? Wenn man ein Spektrum von einem Impuls hat, dann ist an der Frequenz w=X auch eine bestimmte Amplitude und diese ändert sich auch nie. Bei Frequenz w=Y ist wieder eien andere Amplitude und die bleibt auch immer dieselbe bei Frequenz w=Y, bei dem Spektrum halt. Aber auch hier muss man z.b. nicht mit 2 multiplizieren. Verstehe nicht recht was du meinst. |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 17:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ja, aber das würde ich nicht Transformieren nennen, sondern Spektrum zeichnen oder so ähnlich. Transformieren ist der Vorgang, aus einem s(t) ein S(w) zu bekommen. Dann haben wir also nur aneinander vorbeigeredet.
Ja, das entspricht der Berechnung von b1, also: "wieviel Sinus mit Grundfrequenz 1 steckt in meinem Signal?"
Es zeigt nur, dass die halbe Amplitude (die ich a genannt habe) als Ergebnis rauskommt. Deswegen ist ja bei der Formel für an und bn ein davor und nicht ein . Dadurch verdoppelt sich der Wert, denn
Das ist ja das Wunderbare: diese Berechnung findet raus, wieviel Sinusanteil im untersuchten Signal bei einer bestimmten Frequenz enthalten ist! Dreieck, Rechteck, Rauschen, Gesang, ganz egal. Wenn ein Sinus enthalten ist, kommt dessen Amplitude heraus.
Ja, in der Tat ist In dieser Formel sieht man auch, dass der Mittelwert 0,5 ist, denn um diesen schwingt der Cosinus. Grafisch sieht das so aus: Auch hier "sieht" man in der Tat den Mittelwert.
Ich wollte darauf hinaus, dass eine Frequenz von Null bedeutet, dass sich nichts ändert. Und wenn sich bei einem Signal ein Anteil nicht ändert, ist dieser Anteil der Gleichanteil. Das heißt, Du musst nur w=0 in S(w) einsetzen und erhältst den Gleichanteil, also a0. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 06.03.2014, 20:17 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke!
Also sieht das nun folgendermaßen aus: Mittelwert = Am Ende ist dann Mittelwert = Amplitude/2 --> Mittelwert*2=Amp. Ok ist ja ganz logisch
.
Ja, aber wo sieht man hier in der Grafik, dass man den Mittelwert x2 nehmen muss? Ich sehe nur das der graph um 0,5 nach oben verschoben ist und das ist der Mittelwert, aber mehr nicht. Oder geht die Amplitude jetzt immer von x-Achse bis ganz nach oben? Weil dann wäre hie die Amplitude=1, wenn das stimmt was ich da erzähle.
----- Andere Frage: Schau nochmal bitte auf mein Bild. Auf der rechten Seite ganz unten im eingerahmten Kästchen. "Eine konkrete Amplitudenaussage über eine Frequenzkomponente liefer erst |S(w)|*delta_f, also ein Flächenstück unter der S(w)-Kurve" Was soll das heißen? Ich kann doch auch so ablesen, was genau was ist, oder ist das nur, dass man die Amplitude ganz genau bekommt? Außerdem wie soll man von einer Frequenz die Amplitude bekommen, wenn man die GANZE fläche da ausrechnet? Ich verstehe das nicht.
|
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 09:45 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Weil wir die "Testfunktion" sinx haben, und die hat die Amplitude Eins. Der berechnete Mittelwert ist 0,5. Wir haben jetzt also gezeigt, dass bei dieser Methode prinzipiell die halbe Amplitude rauskommt.
Jetzt wird's leider noch mal schwierig. S(w) ist nämlich nicht das gewohnte Amplitudenspektrum, sondern ein Amplitudendichtespektrum!. Man kannn nämlich nicht einfach alle unendlich dicht beieinander liegenden Frequenzen nehmen, aus der S(w)-Funktion die Amplituden holen, mit einem Sinus der jeweiligen Frequenz multiplizieren und alles aufaddieren - Du kannst Dir vorstellen, dass da zwangsläufig Unendlich rauskommt. Mit Praxisbezug: wenn Du ein Zeitsignal mit der Einheit Volt hast, wird das Amplitudendichtespektrum die Einheit Volt/Hertz haben. Da kannst Du jetzt z.B. 0,1-Hertz-Abschnitte nehmen, jeweils die Amplitudendichte S(w) ablesen - und mit 0,1Hz multiplizieren, um die Amplitude bei dieser Frequenz (genauer: bei diesem Frequenzintervall) zu erhalten. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 16:40 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ah ok danke! Zu den Spektren: Also ein "normales" Amplitudenspektrum sieht man bei der Fourier-Reihe z.b., also einfach ein Linienspektrum, wo man halt dann bei einer Frequenz, die Amplitude ablesen kann und dann Amp. mit sin(x) der Frequenz multipliziert. Richtig? Und dieses S(w) ist nun ein Amplitudendichtespektrum, wie du sagst. Schauen wir wieder auf meine Tabelle (Zeile 1). Wenn ich da für alle Frequenzen die Amplitude suche und dann diese mit dem Sinus der jeweiligen Frequenz multipliziere und dann addiere, kommt unendlich hinaus? Aber warum? Ab einer gewissen hohen Frequenz ist doch die Amplitude=0 und somit kann es ja nicht unendlich sein, oder habe ich da einen Denkfehler? Hmm, was hat die Einheit V/Hz, etwa S(w)? Aber warum? |
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 16:58 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ja, das mit der Fourier-Reihe hast Du richtig verstanden.
Es ist natürlich nicht einfach, mit dem Unendlichen zu rechnen, zumal es wirklich Fälle gibt, wo die Summe unendlich vieler einzelner Zahlen tatsächlich definiert ist. Hier aber ist es anders, die einzelnen Zahlen liegen ja wiederum unendlich dicht beieinander. In Deiner Tabelle siehst Du den Wert Ti für w=0. Das ist der Gleichanteil. Nun denk Dir ein beliebig kleines w, also nur knapp über Null. Da ist der Wert nur etwas kleiner als Ti, fast genauso groß. Der wird als Amplitude eines sehr langsamen (w ist ja fast Null) Cosinus draufaddiert. Nun halbiere z.B. dieses kleine w: wieder kommt fast genau Ti drauf. Halbiere erneut: wieder ein Ti mehr. Du kannst Dir vorstellen, dass auf diese Weise nichts anderes entstehen kann als Unendlich, weil Du eben unendlich oft Ti aufeinanderaddieren kannst.
Ja.
Weil Du beim Fouriertransformieren (im richtigen Leben) mit Zeit multiplizierst. Das siehst Du auch im besprochenen Beispiel: die Vertikalachse hat die Einheit einer Zeit, der Nullwert ist Ti (die Periode des Impulses). Und Multiplizieren mit Sekunden ist dasselbe wie Dividieren durch Hertz. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 17:29 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Danke!
Ti ist das aber nicht oder? Der Gleichanteil ist hier nicht benannt. Aber ich weiß schon was du meinst. Du hast gemeint vom Origin weg bis oben, wo dann die Kurve anfängt. Richtig?
Achso, man rechnet ja s(t)*...dt. Also: V*t=V/hz = S(w). Hmm, gut ich weiß jetzt waurm das V/hz ist, weil man einfach V*t macht im Integral, aber uns wurde bisher gelehrt, dass man einfach hinter das Integral z.b. dx schreib, wenn man nach x integriert oder so. Hat das auch eine genaue Bedeutung? Hmm und was ist jetzt der genaue Trick, dass nicht unendlich rauskommt. Aber ist es nicht auch bei der fourier-Reihe so, das man ins unendliche addieren kann? Kommt da denn nicht auch unendlich heraus? Das ist noch ein bisschen verwirrend. |
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 18:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Das Integrieren ist im Grunde ein Multiplizieren, so wie das Differenzieren als Division betrachtet werden kann. Und sobald die x- und y-Achse Einheiten haben, müssen die auch multipliziert werden. Nehmen wir mal ein kleines Beispiel: Das ist f(x)=1 für 0<x<2. Wenn Du davon nun die Fläche ausrechnen willst, ist das recht einfach: F=x*y=2*1=2. Und wenn nun x Sekunden sind und y Ampere, dann ist die Fläche Amperesekunden, also Ladung: wenn 1 Ampere 2 Sekunden fließt, ist eine Ladung von 2As=2Coulomb transportiert worden. Bleiben wir beim Strom und lassen ihn nun anders verlaufen: Wenn man die Ladung rauskriegen will, muss man auch hier die Fläche berechnen. Nur wird's jetzt etwas schwieriger. Man könnte natürlich schätzen oder Kästchen zählen. Aber wozu haben wir die Integralrechnung? Eben genau dafür!
Man macht es "scheibchenweise". In unserem Beispiel könnte man bis zur ersten Nullstelle bei 1/Ti zehn kleine Abschnitte nehmen, die also alle 0,1/Ti lang sind. Dann liest man z.B. am linken Rand jeweils die Amplitudendichte ab. Also eine bei 0,1/Ti, die nächste bei 0,2/Ti und so weiter. Und diese Zahlen multipliziert man jeweils mit 0,1/Ti und hat die Amplitude für die Frequenzen 0,1/Ti, 0,1/Ti und so weiter.
Ja, aber eben nur einzelne Werte mit einem bestimmten Abstand (Grundfrequenz und Harmonische), keine "Wertewolke" von unendlich vielen Zahlen (alle Frequenzen, die es gibt). Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 07.03.2014, 19:02 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ok, danke.
Hm ich versuche es mal aufzuzeichnen: [attach]33488[/attach] Also ich habe hier nun 10 rote Linien eingezeichnet, von 0 bis 1/Ti, d.h. wir haben da 10 Werte im Abstand von 0,1/Ti(ich habs einfach mal deltaf genannt). Ich habe den sechsten Wert hier genommen, stimmt das so? Du sagtest aber mann muss die abgelesen Amplitudendichte mit 0,1/Ti multiplizieren, was für mich keine Sinn ergibt. Außerdem, wenn das so stimmt, was ich hier gemacht habe, ist das ja nur Rechteck-Flächen-Berechnung, ich denke das integriert man in der Praxis? |
||||||||||||||||||||||||
| 09.03.2014, 11:15 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Weiß jemand, ob ich das so richtig sehe
? |
||||||||||||||||||||||||
| 10.03.2014, 09:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Stimmt aber trotzdem. Der sechste Wert ist ja ungefähr Ti/2 (laut Tabelle ist das Maximum der Funktion ja Ti). Und der wird nun mit der Scheibchenbreite 0,1/Ti multipliziert und ergibt die Amplitude 0,05. Somit wissen wir jetzt, dass eine Cosinusschwingung mit der Frequenz f=0,6/Ti und der Amplitude 0,05 im Signalgemisch enthalten ist. In der Praxis besteht ein einzelner Schaltknacks der Höhe 1 Volt, der eine Sekunde lang ist, also unter anderem aus einer unendlich langen Cosinusschwingung der Höhe 0,05 Volt und der Frequenz 0,6 Hertz.
Wenn Du unbedingt willst, kannst Du die Fläche auch durch Integrieren berechnen. Allerdings ist der Integralsinus, den Du dafür brauchst, nicht gerade eine der einfachsten Funktionen. Und wenn die Scheibchen dünn genug sind, wird der Fehler, den Du machst, wenn Du einfach das Rechteck nimmst, vernachlässigbar. Somit integriert man in der Praxis eben gerade nicht, man wird ja nicht froh dabei. Viele Grüße Steffen |
||||||||||||||||||||||||
| 10.03.2014, 16:47 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Hmm, danke! Ich verstehe es nicht wirklich: Warum muss man die Amplitudendichte S(w) mit der Scheibchenbreite multiplizieren: Ti/2 * 0,1/Ti = 0,05 Ja, man sieht hier, dass sich die Einheit Hz wegkürzt und Volt, oder was auch immer, überbleiben. Aber mir ist nicht was es bringen soll die Fläche von einem Rechteck(Breite ist eben dieser Abstand zwischen den Strichen und die Länge ist die jeweilige Amplitudendichte bei Frequenz X). Warum rechnet man gerade diese Fläche aus? Das ist mir nicht klar. Zur Sicherheit, dass wir nicht aneinander vorbei reden: Die schraffierte Fläche, die ich eingezeichnet habe sitimmt nicht, richtig? |
||||||||||||||||||||||||
| 10.03.2014, 17:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
In der Tat: die schraffierte Fläche stimmt nicht, aber Du hast es ja im Text richtig beschrieben:
Die Amplitudendichte ist einfach definiert als eine Amplitude pro Frequenz. Das mag verwirrend klingen, aber in unserem Beispiel hat die Amplitudendichte bei 0,6 Hertz eben den Wert 0,5 Volt pro Hertz. Das bedeutet, dass Du Deine Scheibchen beliebig dünn machen kannst (hier hatten wir jetzt 0,1 Hertz Breite), Du bekommst immer eine entsprechende korrekte Amplitude heraus. EDIT: Nämlich die Fläche des Scheibchens! Würdest Du die Scheibchen z.B. 0,3 Hertz breit machen, hättest Du eine Amplitude von 0,15 Volt statt wie vorhin 0,05 Volt. Das ist gut so, denn Du springst ja jetzt in viel größeren Schritten die Frequenzachse entlang, bekommst also nicht mehr so viele Cosinusschwingungen. Daher muss die Amplitude dieser wenigeren Schwingungen in diesem Fall größer sein, um denselben Originalimpuls derselben Höhe zu ergeben. |
||||||||||||||||||||||||
| 10.03.2014, 17:21 | Integraluss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Ahh ok danke, ich verstehs! Ich habe bitte noch Fragen hier zu DFT. So viele sind es eig. gar nicht, ich versuche es sowieso selbst zu verstehen und schreibe hier halt alles nieder, was ich dazu versteh und ob das dann stimmt, hoffe das passt so, hast mir ja schon sehr geholfen
!Ok gut ich habe mir das Bild im Anhang angeschaut und mit ein bisschen nachdenken kommt man drauf, dass Sd' periodische Signale braucht und mit Sd'' kann man auch nichtperiodische Signal transformieren. Es geht hier um zeitdiskrete Signale! Also, es gibt schonmal auf Erden kein einziges periodisches Signal, aber es gibt "Teilperiodisch". Z.b. wenn etwas 5sec. lang periodisch ist, dann nimmt man als Zeitabschnitt einfach eine Periode her oder? Und dann stetzt man in Sd' ein, stimmts? Die DFT "denkt" zwar, dass das Signal unendlich lang periodisch wäre, aber ist es nicht. Aber man will trotzdem die Frequenzen haben. Aso und es wird immer davor abgetastet und danach erst der Zeitabschnitt hergenommen bzw. bei aperiodischen Signalen mit der Fenksterfunktion multipliziert, richtig? Ist das alles richtig? Noch etwas: Im Zeitbereich wird ja abgetastet und da entstehen im Abstand von Ts, N Abtastzeitpunkte. Im Frequenzbereich sind auch N Abtastpunkte mit dem gleichen Abstand, wie im Zeitbereich.(abstand ist halt deltaf da). Und logischerweise zeigt ein diskretes Frequenzspektrum nur die Frequnzen, wo auch die Abtastpunkte sind(nehmen wir an, dass es IDEAL ist! Also leakage-Effekt ausgeschlossen etc.). Darum sollte man ja die Abtastfrequenz fs so wählen, das diese ganzzahlige Vielfache von der Grundfrequenz(des Zeitsignals) f0 ist, richtig? Natürlich unter berücksichtigung des Abtasttheorems(Sample-frequency Fs = 2x so groß wie höchste signalfrequenz). Stimmts? Fragen, die ich noch habe: Schau bitte mal bei dem Bild auf die linke Seite unten. Da sind 4 so pfeile. 1. Pfeil: Ja, wenn man die Samplefrequenz so wählt. Richtig? 2. Pfeil: Das verstehe ich nicht so wirklich. Warum ist das Spektrum periodisch? 3. Pfeil: Ja, der größte Samplepunkt ist bei fs. (Also wenn N=12, dann ist bei punkt 12 fs) 4. Pfeil: Hmm ja, dass könnte man jetzt einfach so hinnehmen, dass ab der obene hälft gespiegelt wird, aber warum genau ist das so? Weiter 3 Pfeile weiter unten: 1. Pfeil: Ja, ist klar, wie bei der Fourier-Reihe. 2. Pfeil: Ja gut, dass ist halt so wegen komplexer Darstellung --> negative Frequnzen. Aber ich denke das wird mir mehr klar, wenn oben "Pfeil 4" erklärt wird. 3. Pfeil: Naja klar, darum verwendet man diese Version von DFT nur für periodische Signale, also man nur bei Signale die länger auch periodisch sind, man nimmt dann einfach als Fenstergröße die Periodendauer und sagt: "es geht periodisch weiter". Nun zu Sd''(rechts oben beim bild): Naja hier kann man auch unperiodische (zeitdiskrete!) Signale transformieren. Also man multipliziert es dann mit einem Fenster. Fenstergröße stellt man halt so ein, wie man es halt gerade braucht, was man messen will etc. Richtig? 1. Pfeil: Ich verstehe es nicht. Warum wird da mit der Fenstergröße multipliziert? Was bewirkt das? Andere Frage: Wie sieht das Spektrum hier jetzt aus? Ist das kontinuierlich? Aber ich dachte es können nur Frequenzen bei den Abtastpunkten erscheinen. Muss was mit der Multiplikation, die in Pfeil 1 erwähnt wird, zu tun haben. mfg Integraluss |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
