Stochastik- Überraschungseier

26.02.2014, 20:30

Unicorn

Stochastik- Überraschungseier

Meine Frage:
Hey,
ich schreibe morgen meine vermutlich allerletzte Matheklausur und wollte die gut bestehen. Nur leider ist das mit unserer Lehrerin nicht so ganz möglich. Das Thema wird Stochastik sein.
Ich habe mir nun eine Aufgabe rausgesucht zum üben und weiß einfach nicht weiter ...

Überraschungseier
Eine Schokoladen?rma wirbt damit, dass sich in jedem 5. Überraschungsei eine Figur be?ndet.

a) Für einen Kindergeburtstag werden 15 Überraschungseier gekauft, wobei man davon ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufälllig ist. Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang
der folgende Term hat:

15 über drei*(1:5)^3*(4:5)^12

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: In keinem Ei ist eine Figur. Lösung: 3,5%
B: Es be?nden sich in höchstens 2 Eiern Figuren. Lösung: 39,8%
C: In höchstens 11 Eiern sind keine Figuren. Lösung: 35,2%

b) Ein Käufer möchte unbedingt eine Figur bekommen. Berechnen Sie, wie viele Überraschungseier er mindestens kaufen musste, um mit 95%iger Sicherheit mindestens ein Überraschungsei mit einer Figur zu ¨
erhalten. Lösung: n = 14

Meine Ideen:
a) A: 15 über 15 * (4:5)^15*(1:5)^0= 0,035
B: 15 über 2 *(1:5)^2*(4:5)^13= 0,2308 (falsches Ergebnis- Warum?)
C: 15 über 11 *(4:5)^11*(1:5)^4= 0,1876 (ebenfalls falsch?)

b) Gegenwahrscheinlichkeit- nur wie?

26.02.2014, 20:56

360°

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Du verstehst die zu berechnenden Ereignisse nicht.
Sei X die ZV, die angibt, wieviele Figuren ich in 15 Eiern finde. Dann ist bei B $\begin{eqnarray*} P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \end{eqnarray*}$ und bei C $\begin{eqnarray*} P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3)=1-(P(X\leq 2)+P(X=3)) \end{eqnarray*}$ gesucht.

26.02.2014, 21:39

360°

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Zu b) Wir suchen $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X\geq 1)\geq 0{,}95 \Leftrightarrow P(X=0)\leq 0{,}05 \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} P(X=0)=\left(\frac{4}{5}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Also suchen wir das kleinste n, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq 0{,}05 \end{eqnarray*}$ erfüllt und das ist n=14.

26.02.2014, 21:59

Unicorn

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Vielen Dank erst einmal für deine schnelle Antwort! Eine Frage bleibt aber noch :$
Wiie berechne ich den in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für z.B. x<0?
Und wie berechnet man diesen Schritt? :
Also suchen wir das kleinste n, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq 0{,}05 \end{eqnarray*}$ erfüllt und das ist n=14.
Einfach ausprobieren?

26.02.2014, 22:04

Unicorn

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hmmm, habe grade gemerkt, dass ich für A auch 1:5^15 hätte rechnen können ... Mir ist einfach noch nicht ganz klar, wie ich bei so großen Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeit berechne, ohne das ganze Baumdiagramm aufzeichnen zu müssen ...

26.02.2014, 23:22

360°

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X nimmt nur nichtnegative Werte an, deswegen gilt $\begin{eqnarray*} P(X<0)=0 \end{eqnarray*}$ . Jap, ausprobieren, dabei nähert man sich am besten "von unten an". Für die konkrete Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\in\left\{0,\dotsc ,15\right\} \end{eqnarray*}$ ,ist es essentiell, zu wissen, dass X binomialverteilt ist. Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\binom{15}{k}\left(\frac{1}{5}\right)^k\left(\frac{4}{5}\right)^{15-k} \end{eqnarray*}$ .

27.02.2014, 15:46

Kasen75

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Zitat:

Original von Unicorn
Und wie berechnet man diesen Schritt? :
Also suchen wir das kleinste n, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq 0{,}05 \end{eqnarray*}$ erfüllt und das ist n=14.
Einfach ausprobieren?

Man kann es tatsächlich berechnen. Beide Seiten logarithmieren:

$\begin{eqnarray*} n\cdot ln\left(\frac{4}{5}\right) \leq ln(0,05) \end{eqnarray*}$

Jetzt nach n auflösen. Dabei bedenken, dass $\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{4}{5}\right) <0 \end{eqnarray*}$ . Das ist wichtig für die Richtung des Ungleichheitszeichen, wenn man durch $\begin{eqnarray*} ln \left(\frac{4}{5}\right) \end{eqnarray*}$ teilt.

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