ganze/analytische Funktion

26.02.2014, 21:21

DerJFK

ganze/analytische Funktion

Aufgabe

Beweise oder Widerlege:

Gibt es eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z) \not= 1, \ \forall z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen

Habe mir da jetzt länger den Kopf zerbrochen und finde keine Funktion, jedoch auch kein Beweis warum es sie nicht geben kann.

Hoffe mir kann jemand ein Tipp in die richtige Richtung geben.

Habe es mit Potenzreihenentwicklung oder auch mit der Umforung der exp(z) Funktion probiert aber ohne erfolg.

Danke schonmal

26.02.2014, 21:33

Che Netzer

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RE: ganze/analytische Funktion
Findest du denn eine ganze Funktion, die den Wert Null (statt Eins) auslässt? Wenn ja, kannst du aus der das gesuchte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ basteln?

26.02.2014, 21:49

DerJFK

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Das hatte ich schon probiert.

$\begin{eqnarray*} e^z \not= 0, \ \forall z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Aber mit der deinem Post, wird es sie wohl geben. Habe nochmal nachgedacht und $\begin{eqnarray*} e^{e^z} \end{eqnarray*}$ müsste eigenltich passen. Denn nur für die 0 wird es gleich 1.

Stimmts?

26.02.2014, 21:59

Che Netzer

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Das funktioniert nicht, denn auch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2\pi\mathrm i}=\mathrm e^0=1 \end{eqnarray*}$ [editiert, siehe unten]. Es geht allerding noch etwas einfacher Augenzwinkern

26.02.2014, 22:00

Algebrafan

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So, wie ich das sehe reicht nur eine kleine Äquivalenzumformung um von

e^z != 0

zu g(z) != 1 zu kommen.

26.02.2014, 22:09

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das funktioniert nicht, denn auch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2\pi\mathrm i}=0 \end{eqnarray*}$ .

Ist nicht $\begin{eqnarray*} e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

26.02.2014, 22:13

Che Netzer

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Klar

War zum Glück auch gemeint und ist jetzt korrigiert.

26.02.2014, 22:45

DerJFK

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$\begin{eqnarray*} e^z+1 \end{eqnarray*}$

das hatte ich heute schon mal da stehen und dann verworfen, aus Gründen die ich gerade auch nicht mehr verstehe.

26.02.2014, 23:30

Che Netzer

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Es stimmt jedenfalls Augenzwinkern

26.02.2014, 23:49

chris95

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Wie waers mit f(z) = 0?

26.02.2014, 23:50

Che Netzer

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Falls das nicht ausgeschlossen wurde (ich bin davon ausgegangen, dass das hier nur vergessen wurde zu erwähnen), wäre es natürlich noch einfacher.