Grenzwerte bestimmen - Seite 2

27.02.2014, 22:35

Haramune

sin/cos

27.02.2014, 22:39

bijektion

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{\tan(x)}{5x}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{5x} \end{eqnarray*}$ , und weiter?

27.02.2014, 22:42

Haramune

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tjaaa, das weiß ich nicht Big Laugh

27.02.2014, 22:47

bijektion

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$\begin{eqnarray*} \dots = \lim_{x \to 0 } \frac{\sin(x)}{5\cdot x \cdot \cos(x)} \end{eqnarray*}$ , fällt da was auf?

27.02.2014, 22:57

Haramune

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Zitat:

Original von bijektion
$\begin{eqnarray*} \dots = \lim_{x \to 0 } \frac{\sin(x)}{5\cdot x \cdot \cos(x)} \end{eqnarray*}$ , fällt da was auf?

ja... im Nenner steht wieder x*cos.. was wir ja bereits wissen 0 ist.
Mir wäre aber nicht eingefallen nochmal mit x zu erweitern.

27.02.2014, 23:30

bijektion

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Wieso mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erweitern? Wer sagt das b.z.w. wer hat das gemacht?

Wir sehen nur: Der Zähler wie auch der Nenner konvergieren gegen null, also ist das ein Fall für?

27.02.2014, 23:32

Haramune

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Zitat:

Original von bijektion
Wieso mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erweitern? Wer sagt das b.z.w. wer hat das gemacht?

Wir sehen nur: Der Zähler wie auch der Nenner konvergieren gegen null, also ist das ein Fall für?

Achso sah so aus wegen dem Malheitszeichen nach der 5 Hammer

Ja 0 kommt da natürlich raus.

27.02.2014, 23:34

bijektion

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Nein! $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ schreit doch förmlich nach L'Hospital. Genauso wie oben. Also, was müssen wir denn jetzt machen, wenn wir L'Hospital nutzen möchten?

27.02.2014, 23:42

Haramune

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jeweils Zähler und Nenner ableiten

27.02.2014, 23:46

bijektion

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Dann mach das mal.

27.02.2014, 23:48

Haramune

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ok, bereit?? Jetzt kommts.. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ !
Big Laugh

27.02.2014, 23:52

bijektion

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Das ist jetzt hoffentlich der Grenzwert und nicht das was rauskommt, wenn du ableitest Big Laugh

27.02.2014, 23:53

Haramune

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das ist der Grenzwert, ja

27.02.2014, 23:54

bijektion

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Gut

28.02.2014, 00:16

Haramune

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bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{tan^2x+1}{5x} \end{eqnarray*}$ bin ich mir da weniger sicher verwirrt

28.02.2014, 00:18

bijektion

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Versuch doch erstmal den Tangens wieder etwas umzuformen, ähnlich wie oben.

EDIT: Bin erstmal weg bis morgen Schläfer

28.02.2014, 00:24

Haramune

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ah, ist also doch das gleiche.... shiii, dachte das kann nicht sein Kotzen

ok, danke für die Hilfe bis jetzt Wink

28.02.2014, 07:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Haramune
bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{tan^2x+1}{5x} \end{eqnarray*}$ bin ich mir da weniger sicher verwirrt

Wiederum greift (s.o.)

Zitat:

Existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} g(x) \end{eqnarray*}$ und ist von Null verschieden, so existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} (f(x)\cdot g(x)) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert. Im Existenzfall gilt dann natürlich für die Grenzwerte die bekannte Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x\to x_0} f(x) \cdot \lim_{x\to x_0} g(x) \end{eqnarray*}$ .

diesmal mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\tan^2(x)+1}{5} \end{eqnarray*}$ , was die Nichtexistenz des Gesamtgrenzwertes zeigt.

28.02.2014, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von bijektion
Nein! $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ schreit doch förmlich nach L'Hospital.

Also bei mir schreit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{\sin(x)}{5\cdot x \cdot \cos(x)} \end{eqnarray*}$ eher nach einer simplen Umformung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{5\cdot x \cdot \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x } \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{5 \cdot \cos(x)} \end{eqnarray*}$

Da die beiden Grenzwerte auf der rechten Seite existieren, ist die Umformung auch zulässig. Obendrein hat man sich das Ableiten gespart. smile

28.02.2014, 09:58

bijektion

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{5\cdot x \cdot \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x } \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{5 \cdot \cos(x)} \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich wirklich noch besser smile

01.03.2014, 01:12

Haramune

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HAbe hier jetzt was mit Cotangens...
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x*cot(x) \end{eqnarray*}$
Kann mir jemand erklären wie er/sie damit umgeht?

01.03.2014, 01:56

Haramune

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lässt es sich vielleicht so umschreiben?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{x}{cot(x)} } \end{eqnarray*}$
finds irgendwie voll schwierig, das neeeervt verwirrt

EDIT: Es ist ja die Umkehrung vom tangens ( $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} <=> \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ )
daher: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cotx} => tanx \end{eqnarray*}$

01.03.2014, 03:04

Mulder

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$\begin{eqnarray*} x \cdot \cot(x) = \frac{x}{\sin(x)} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

Das mit dem sin(x)/x wurde hier ja nun schon mehrfach thematisiert. Den Grenzwert kann man jetzt schon ablesen.

Oder sonst halt wieder L'Hospital (was allerdings ebenso unnötig ist wie bei der letzten Aufgabe). Diese Aufgabe unterscheidet sich kaum von den bisherigen.

Zitat:

lässt es sich vielleicht so umschreiben?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{x}{cot(x)} } \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch.

Und bitte gewöhn dir diese Folgepfeile ab. Die gehören zwischen Aussagen, nicht aber zwischen Terme.

Und der Kotangens ist nicht die Umkehrung (das wäre der Arkustangens), sondern der Kehrwert des Tangens.

01.03.2014, 13:10

Haramune

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Also:
tan x = sin x / cos x
cot x = cos x / sin x

Und nun nur einsetzen:
cot x * x = cos x / sin x * x
ok und wie lässt sich nun der Grenzwert daraus ablesen oder berechnen?

03.03.2014, 08:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Haramune
ok und wie lässt sich nun der Grenzwert daraus ablesen oder berechnen?

Wenn du den Beitrag von Mulder aufmerksam gelesen hättest, ist diese Frage im Grunde unnötig. Außerdem hat das ganze sehr große Ähnlichkeit mit:

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt betrachten wir wieder den Gesamtausdruck $\begin{eqnarray*} x \cdot cos(x) \cdot \frac{x}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ . Welche Grenzwerte haben nun die einzelnen Faktoren für x gegen Null?

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