Grenzwerte bestimmen

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Haramune Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte bestimmen
Hallo Leute! Grenzwerte zu bestimmen sind bis dato immer noch ein Dorn im Auge. Bis auf Additionstheoreme gibt es kaum etwas was ich weniger "begreifen" kann als das.
Mir scheinen die grundlegneden trigonometrischen Zusammenhänge, Kniffe und Tricks zu fehlen um sowas zu berechnen. Oft sehe ich wo aus einer Funktion dann so etwas ensteht wie 1/n oder 3/n. Das hier z.B:
Wüsste jetzt nicht wie man da auf 1/2 kommt..

Mir fällt es auch schwer mit sin, cos und so weiter zu arbeiten. Hier paar Beispiele





Und jetzt halt noch was mit tangens:


daraus soll angeblich sowas wie:

WIe das? Dachte bis jetzt die Ableitung vom tangens ist \frac{1}{cos^2x}

Wär echt nett wenn mir jemand klar machen könnte wie man bei dem allen hier klar kommen kann.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal einfach mit dem ersten Beispiel an. Kennst du die Grenzwertsätze? Weißt du was ergibt?
 
 
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

0... denn es konvergiert gegen 0, erreicht sie aber nicht. Ist eine Hyperbelfunktion
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Du weißt auch was konvergenz bedeutet, mit und ?

Nehmen wir jetzt mal . Am einfachsten ist es, zu versuche, etwas bekanntes zu erhalten. Kürze aus dem Bruch mal das mit dem größten Exponenten raus. Was erhälst du dann?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Richtig. Du weißt auch was konvergenz bedeutet, mit und ?

Nehmen wir jetzt mal . Am einfachsten ist es, zu versuche, etwas bekanntes zu erhalten. Kürze aus dem Bruch mal das mit dem größten Exponenten raus. Was erhälst du dann?


Konvergent bedeutet doch wenn es sich dem Nullwert nährt

Also ich weiß ja, dass
entsteht. Wieso, das weiß ich nicht genau. Da wurde das n^2 halt ausgeklammert... was mit aber vollkommens chleierhaft ist wie diese Brüche erweitert wurden. Kann man mir nicht einen Tipp geben wo ich nachschlagen soll?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz einer Folge gegen einen Grenzwert bedeutet, dass es zu jedem ein gibt, sodass für alle gilt: .

In unserem Fall ist und der Grenzwert . Du hast aber falsch umgeformt: . (EDIT: Das wurde jetzt korrigiert)

Jetzt wissen wir mit den Grenzwertsätzen, dass mit den Nullfolgen und , der Bruch gegen konvergiert. Ist dir das soweit klar?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

nicht wirklich. Wieso? Weil die 1 im Zähler und 2 im Nenner Konstanten sind und die Brüche immer kleiner werden und deswegen keinen EInfluss auf die Stetigkeit haben?
Mich würde aber in erster Linie intererssieren, wie die Brüche umgeformt wurden.. im Nenner ist da ein n^2 und im Zähler nur einfach n.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Teil. Die und die sind konstant, dazu wird jeweils eine Nullfolge addiert. Kennst du die Grenzwertsätze?
Mit Stetigkeit hat das aber nichts zu tun, das sind Folgen.

Das Brüche umformen sind einfache Potenzgesetze. Wenn du aus ein ausklammerst, was kommt dann raus? Und was kommt raus wenn du ein aus ausklammerst?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Zum Teil. Die und die sind konstant, dazu wird jeweils eine Nullfolge addiert. Kennst du die Grenzwertsätze?
Mit Stetigkeit hat das aber nichts zu tun, das sind Folgen.

Das Brüche umformen sind einfache Potenzgesetze. Wenn du aus ein ausklammerst, was kommt dann raus? Und was kommt raus wenn du ein aus ausklammerst?

Achsoo, stimmt. Der 3 fehlen 2 n, dem -n fehlt eines, jetzt seh ichs. (Glaube ich). Sorry, bin da etwas langsam.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Achsoo, stimmt. Der 3 fehlen 2 n, dem -n fehlt eines, jetzt seh ichs.

Der "fehlen" , nicht .

Jetzt also weiter: Was fällt dir zu a) ein?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

??
Dazu fällt mir ehrlich gesagt gar nichts ein. Ich kann mir bei solchen trigonometrischen Grenzwerten garnichts vorstellen, wenn es nicht grad was mit komplexen Zahlen zu tun hat.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du die Regel von L’Hospital?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

jaa... habe aber gehofft, dass es mir erspart bleibt. Etwas von wegen 0/0. Setz e mich morgen damit mehr auseinander.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest auch noch die Reihenentwicklung des Sinus benutzen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Oder, wenn der Grenzwert ohnehin schon bekannt ist (und wenn man die Ableitung des Sinus kennt, dann ist der auch bekannt), ein wenig umschreiben:



Allerdings sollte man sich vor L'Hospital nun auch nicht fürchten. Das ist ne ziemlich simpel anzuwendende Regel, die einem oft helfen kann. Augenzwinkern

Und eine Anmerkung zu oben sei mir noch gestattet, ehe ich mich dann wieder raushalte hier:

Zitat:
WIe das? Dachte bis jetzt die Ableitung vom tangens ist \frac{1}{cos^2x}

Ist sie auch. Ist aber dasselbe.



Augenzwinkern
360° Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Oder, wenn der Grenzwert ohnehin schon bekannt ist (und wenn man die Ableitung des Sinus kennt, dann ist der auch bekannt), ein wenig umschreiben:





Was sollte das bringen? Es ist nicht erlaubt, den Grenzwert auf die zwei Faktoren anzuwenden, weil der Grenzwert des rechten Faktors nicht existiert.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Unter dem Gesichtspunkt, dass dieses Thema, wenn auch unverständlich, unter Schulmathemathematik läuft, sollte man versuchen, das Thema hier nicht unnötig zu verkomplizieren.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

naja die Reihenentwicklung sagt mir noch weniger etwas. Und ich weiß auch nicht woher auf einmal die 4x im Nenner auftauchen. Hab eigentlich gehofft die Dinge werden hier erklärt, anstatt dass noch mehr Fragen auftauchen geschockt
Und ich habe das hier unter Schulmathematik gestellt weil ich gedacht habe, dass es hier einfacher vermittelt wird Augenzwinkern
Ich muss erst einmal wissen, wie ich bei Grenzwertbetrachtungen mit sinus,cosinus, tangens Zusammnehänge klarkomme. Denn es hat für mich weder Hand noch Fuß..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Nahe 0 ist (das weiß man eben, wenn man obigen Grenzwert kennt), folglich



Aber wenn Haramune damit überfordert ist, steht es ihm/ihr ja frei, das zu ignorieren. Einen Bruch mit 4 zu erweitern sollte allerdings auch einen Schüler nicht überfordern.

Zitat:
Hab eigentlich gehofft die Dinge werden hier erklärt, anstatt dass noch mehr Fragen auftauchen

Es werden Alternativen aufgezeigt. Sonst nichts. Nimm das, womit du am besten klar kommst.
Jade93 Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht hilft es dir wenn du dir erstmal klarmachst, dass bei sin und cos der grenzwert zwischen -1 und 1 verläuft und dass sie periodisch sind, um mal das Grundlegendste festzustellen smile
und noch ein kleiner Tipp: es kommt des öfteren auch auf den am grõßten auftretetenen Exponenten an.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

auch das mit dem -1 und 1 hab ich irgendwo gelesen. sber ich sehs einfach nicht. Ich sehs nicht wieso sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) sein soll. Ich kann hier mit Trigonometrie einfach nichts anfangen! Das kann ich bei komplexen zahlen, senkrechten/waagerechten Wurf, aber nicht hier. Ich bin mit den ganzen Umformungen (Theoremen) nicht vertraut... bei dem Beispiel sin(2x) = 2 *sin*cos...
in Worten ausgedrückt... ich habe mir das so vorgestellt dass cosinus bei 0° und 180° liegt. Wenn ich jetzt sin(2x) habe, bedeutet es, dass es von einem sinus zum anderen schwingt und dabei einmal das cosinus überquert, weswegen hier einmal cosinus gibt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du denn die Eulersche Identiät, d.h. ?
Die kannst du doch einfach mal nach Sinus b.z.w. Kosius auflösen, dann erhält man daraus z.B. einfach die Addditionstheoreme.

Das der Sinus und der Kosinus nur Werte zwischen und annehmen erkennt man doch u.a. an diesen Plots
Sinus:



Kosinus:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 360°
Zitat:
Original von Mulder
Oder, wenn der Grenzwert ohnehin schon bekannt ist (und wenn man die Ableitung des Sinus kennt, dann ist der auch bekannt), ein wenig umschreiben:





Was sollte das bringen? Es ist nicht erlaubt, den Grenzwert auf die zwei Faktoren anzuwenden, weil der Grenzwert des rechten Faktors nicht existiert.

Es bringt eine Menge, einen Term mit bekannten Grenzwert ungleich Null abzuspalten, vor allem wenn der Restterm dann von einfacherer, womöglich bekannter Struktur ist.

Oder um es zusammenzufassen:

Zitat:
Existiert und ist von Null verschieden, so existiert genau dann, wenn existiert. Im Existenzfall gilt dann natürlich für die Grenzwerte die bekannte Formel


Ich hab schon mehrfach drauf hingewiesen, insbesondere im Zusammenhang mit L'Hospital, wo derartige Abspaltungen meist hilfreich sind, um ansonsten ausufernde Terme zu bändigen.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

ok. demnach sind die Grenzwerte:







versteh jetzt nicht so genau wie 1/2 raus kommt.. was bedeutet es im Prinzip wenn ich cos(x) durch eine Zahl teile? Weil wenn ich cos(x) - 1 rechne, dann erhalte ich 0. Das kann ich mir ja in dem Plot vorstellen? Dann wird beim Teilen durch 2 einfach die 1 halbiert?
360° Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Existiert und ist von Null verschieden, so existiert genau dann, wenn existiert. Im Existenzfall gilt dann natürlich für die Grenzwerte die bekannte Formel



Das war mir so nicht bewusst. Danke für die Erläuterung.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit ??
Ich hab jetzt mal probiert und gerechnet:


und das bitte für beide limes Fälle erklären smile


Also muss ich jetzt den Grenzwert für cotangens betrachten oder müsste ich hier einmal ableiten (Quotientenregel)?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, das der Limes nicht existiert, wie auch schön klar wird durch den Plot



Und wieso willst du Ableiten? Zum einen ist das kein Fall für L'Hospital, und selbst wenn, bräuchte man keine Quotientenregel.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt auffallend... ok was ist dann jetzt nun mit:
?
Hier gilt jetzt aber:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Haramune
was ist dann jetzt nun mit:
?

Hier sollte man den Vorschlag von HAL 9000 aufgreifen und den Bruch geschickt aufteilen:



Wenn du schon weißt, was ist, ist der Rest kein Problem. smile
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du schon weißt, was ist, ist der Rest kein Problem. smile


Auch das hab ich schon oft im web gelesen.. ich weiß mitlerweile im Schlaf, dass bei lim ->0 das Ergebnis 1 ist.
Wieso ich mir das unbedingt merken sollte ode rwarum "der Rest eine Kinderspeil" sein soll seh ich nicht so ganz.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weißt, daß ist, was ist dann ?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

auch 1.. ich meine wenn 2 durch 2 1 ist, ist auch 2 durch 2 gleich 1 :P
Ich komme nur schleppend voran..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Haramune
ich meine wenn 2 durch 2 1 ist, ist auch 2 durch 2 gleich 1 :P

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst, aber Grenzwert 1 ist richtig.

Jetzt betrachten wir wieder den Gesamtausdruck . Welche Grenzwerte haben nun die einzelnen Faktoren für x gegen Null?
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

schwierig, weil ich mir nicht vorstellen kann wie x*cos(x) aussehen soll, das ist ja das Hauptproblem!
Ich kann mir vorstellen wie ein Graph der Fkt. ax+b=y aussieht, aber das...

cos(x) wäre ja 1... mal x...das ist doch so wenn es mit x mal genommen wird, wird beim Ursprung immer 0. Also kommt insgesamt 0 raus. Das ist halt so eine Merkregel, kan sie abe rnicht wirklich herleiten unglücklich
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

Oooh!Ich hab echt ein Brett vorm Kopf! Forum Kloppe Also was da im Prinzip steht ist:
0*cos(0)*0/sin(0)
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

0 ist richtig.

Beim Kosinus gilt doch, wie oben schonmal geschrieben: für alle .
Dann muss doch gelten, und das ist nun doch wirklich leicht zu berechnen.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

ok, selbe Funktion jetzt nur im limes unendlich. Die osziliert ja die Funktion oder? Das heißt sie geht immer drauf und runter, deswegen ist sie nicht definiert oder?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Also , jetzt ist ja wieder wie du gesagt hast. Wenn dann immer größer wird, kann der Grenzwert nicht existieren.
Haramune Auf diesen Beitrag antworten »

und
lässt sich das durch L'Hospital lösen? ODer auch anders?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst du denn den Tangens anders darstellen?
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