Funktionsschar und Wendepunkte

27.02.2014, 13:46

Jack_D

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Funktionsschar und Wendepunkte

Hallo Gemeinde,

nachdem mit GMasterFLASH hier bereits sehr gut geholfen hat, wollte ich mich erneut an euch wenden.

Die Aufgabenstellung ist folgende:

Welche Bedinungen müssen die Parameter a und b erfüllen damit der Graph von

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x) =ax^4 +bx^2 \end{eqnarray*}$

1. genau zwei
2. genau einen
3. keinen Wendepunkt hat

Mein Ansatz :
Ableiten

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x) =ax^4 +bx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x)' =4ax^3 +2bx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x)'' =12ax^2 +2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x)''' =24ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b} (x)'' =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=12ax^2+2b \end{eqnarray*}$ | :12a

$\begin{eqnarray*} 0=x^2+\frac{2b}{12a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=o \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=\frac{2b}{12a} \end{eqnarray*}$

In p-q Formel

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} =0\pm \sqrt{0-\frac{2b}{12a} } \end{eqnarray*}$

So und hier häng ich jetzt de der Term vorm PlusMinus Null und der Term dahinter aufgrund der Wurzel immer positiv ist.
wahrscheinlich hab ich nur nen ganz "banalen" Fehlern

Daher wäre es schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Grüße

27.02.2014, 13:53

Dopap

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jetzt musst du nur überlegen, wann der Radikand

1.) postiv
2.) Null
3.) negativ

wird. Das Minus bedeutet nichts.

27.02.2014, 14:01

Jack_D

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Hallo Dopap

Danke für deine Antwort.

Ich muss jurz erläutern, ich bin etwa 8 Jahre raus aus der Materie und versuch damit nur jeamdnen zu helfen.

Daher .. was bitte ist ein Radikant?

27.02.2014, 14:39

Gast11022013

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Der Radikand ist einfach das was unter der Wurzel steht.
Genauer geht es hier um den Begriff der Diskriminante. Ist eigentlich das selbe. Auch einfach das was unter der Wurzel steht. Anhand der sogenannten Diskriminante kann man ablesen wie viele Lösungen die pq-Formel bringt.

Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann gibt es eine Lösung, wenn sie positiv ist, dann gibt es zwei Lösungen und wenn sie negativ ist, dann gibt es keine Lösung.

Die pq-Formel brauchst du hier übrigens nicht. Hier reicht normales Wurzelziehen aus.

Also, wann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a}=0<br /> <br /> \frac{-2b}{12a}<0<br /> <br /> \frac{-2b}{12a}>0 \end{eqnarray*}$

27.02.2014, 14:51

Jack_D

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Das ist er wieder der Großmeister des Blitzes =)
Hat dein essen gemundet? :-D

Stimmt, dadurch das mit p fehlt kann ich ja nach x auflösen - mit wurzel ziehen (richtig?)

also

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a} = 0 \end{eqnarray*}$ stimmt wenn b=0 ist und a ungleich 0

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a} < 0 \end{eqnarray*}$ stimmt wenn a>0 und b>0

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a} > 0 \end{eqnarray*}$ stimmt wenn b<0 und a>0

27.02.2014, 14:58

Gast11022013

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Ich genoss etwas Leber mit ein paar Fava Bohnen, dazu einen ausgezeichneten Chianti und das Flash hat keine nähere Bedeutung, es ist halt nur für die extra Portion Coolness.

$\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ muss ohnehin gelten.

Ja, es muss b=0 gelten, damit der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null ist.

Bei den beiden anderen Fällen gibt es jeweils noch eine Möglichkeit.

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27.02.2014, 15:08

Jack_D

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Das klingt durchaus lecker.. wobei ich ja die sangiovese-trauben bevorzuge Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a} < 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (a>0) und (b>0) \end{eqnarray*}$ sowie (a<0) und (b<0)

$\begin{eqnarray*} \frac{-2b}{12a} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (a>0) und (b<0) \end{eqnarray*}$ sowie (a<0) und (b<0)

27.02.2014, 15:12

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{6a}>0 \end{eqnarray*}$

gilt, wenn a>0 und b<0 sowie a<0 und b>0.
Das sollte aber auch eher ein Tippfehler sein.

27.02.2014, 15:30

Jack_D

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Genau =)

wir verbuchen das als Tippfehler =)

Und das reicht als antwort für die Fragestellung?

Also die herleitung bis zur pq - Formel
dann Wurzel / pq formel

dann die 3 Bedingungen

term >0 dann diskriminante >0 somit 2 Lösungen
term = 0 dann diskriminante =0 dann 1 Lösung
term < 0 dann diskriminante <0 dann keine Lösung

Grüße

27.02.2014, 15:35

Gast11022013

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Ja, eigentlich schon.
Du löst die Gleichung ganz normal indem du die Wurzel ziehst und begründest dann über die Anzahl der Lösungen. Und diese liest du an der Diskriminante/Radikand ab.

Vielleicht noch ein kommentierenden Satz dazu schreiben und das sollte ausreichen.

Edit:

Vielleicht könnte es aber dann auch noch gefordert sein die x-Werte der Wendepunkte zu berechnen und dann in der dritten Ableitung zu prüfen ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

27.02.2014, 15:38

Jack_D

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Jetzt bin ich ja fast schon enttäuscht, dass das so schnell ging =)

Das andere Problem ging ja etwas länger =)

Nun gut. Ich hab das kommentiert mit

Term = 0 -> Diskirmante = 0
wenn (b=0) -> 1-> Lösung / 1 WP

und so weiter.

GMasterFlash ich danke dir wie verrückt für deine antsändige Hilfe und deine unendliche geduld.

Und wenn du mal hilfe in Excel / VBA brauchst kannst dich vertrauensvoll an mich wenden, da liegt dann meine Stärke =)

Bis dahin sonnige Grüße aus Dresden

27.02.2014, 15:42

Gast11022013

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Leider habe ich mit solch unchristlichen Programmen nichts zu tun.

Gern geschehen.

Das f in flash übrigens klein schreiben. Sonst kommt das mit der Coolness nicht so rüber. Selbes gilt für das m nach dem G.

Zitat:

Term = 0 -> Diskirmante = 0

Das ist zwar ein wenig doppelt gemoppelt aber natürlich nicht falsch.
Beachte auch noch meinen obigen Edit.

27.02.2014, 17:46

Jack_D

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Hihi.

Okay.

Naja wie würdest du die Fragestellung interpretieren?
denkst du es ist gefordert die x werte zu ermitteln bzw in der f(x)''' zu prüfen?

Grüße

27.02.2014, 17:50

Gast11022013

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Ich würde es glaube ich einfach tun, denn wirklich lange dauert es ohnehin nicht.

27.02.2014, 23:41

Jack_D

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Das sagst du der damit offensichtlich keine Kopfschmerzen bekommt 😁
Mal sehen ob ich mich morgen nochmal dran probiere und das hier weiter führe ;-)

28.02.2014, 09:10

Jack_D

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Na gut, dann versuch ich es mal

ich hab jetzt x mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{2b}{12a} } \end{eqnarray*}$

Das setze ich in f(x) ein

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x1)=a( \sqrt{-\frac{2b}{12a} } )^4+b(\sqrt{-\frac{2b}{12a} } )^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x1)=a(- \frac{4b^2}{144a^2} )+b( -\frac{2b}{12a}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x1)=-\frac{b^2}{36a} +\frac{b^2}{-6a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x1)=-\frac{b^2}{21a} \end{eqnarray*}$

Aber ich seh grad das sind ja dann Y Werte..

Ich muss x1 nach a oder b umstellen oder?
-.-

28.02.2014, 10:05

Gast11022013

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Nein, die y-Werte sind uninteressant. Es geht gerade ja nur darum ob die x-Werte der Wendepunkte auch wirklich Wendepunkte sind.
Wir hatten ja vorhin ermittelt unter welchen Bedingungen es wie viele Lösungen der Gleichung f ''(x)=0 gibt und somit wie viele potenzielle Wendepunkte es gibt.

Jetzt wollen wir gucken ob es sich dann dabei auch tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

28.02.2014, 10:08

Jack_D

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Da ist ja mein Freund wieder =)

Guten Morgen =D

Add. 1 Okay. Auch wenn es unerheblich ist, sind die Rechnungen wenigstens richtig?

Add. 2 Steh ich grad auf dem Schlauch was ich machen muss. Ich weiß das man in der dritten Ableitung prüft ob das ganze Wendepunkte sind und zwar wenn f(x) ungleich 0

Aber irgendwie fehlt mir heut früh meine geistige Fähigkeit mich dem Problem zu nähern

Grüße

28.02.2014, 10:12

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \frac{-b^2}{36a}+\frac{b^2}{-6a}\neq \frac{-b^2}{21a} \end{eqnarray*}$

Rechne das noch einmal nach.

Wie lauten denn erst einmal die Lösungen der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f ''(x)=0 \end{eqnarray*}$

28.02.2014, 10:17

Jack_D

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Ahh okay.. habs gesehen

Ich hab den Nenner addiert statt ihn gleich zu machen grmlz ##

Also die möglichen Wendepunkte sind

$\begin{eqnarray*} +\sqrt{-\frac{b}{6a} } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{-\frac{b}{6a} } \end{eqnarray*}$

28.02.2014, 10:21

Gast11022013

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Und du musst auch aufpassen, dass wenn du quadrierst das negative Vorzeichen rausfliegt. Wir haben also nicht $\begin{eqnarray*} \frac{-b^2}{36a} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{b^2}{36a} \end{eqnarray*}$ .

Das wären die Lösungen wenn der Radikand positiv ist. Was ist wenn er gleich Null ist? Was ist wenn er negativ ist?

28.02.2014, 10:26

Jack_D

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Nun, wenn der Radikant Null ist dann ist der Wendepunkt auch 0

und wenn er negativ ist, gibt es keinen Wendepunkt (da ja aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann)

28.02.2014, 10:27

Gast11022013

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Richtig.

Und nun musst du das in der dritten Ableitung prüfen.
Also einsetzen und beten, dass es ungleich Null ist.

28.02.2014, 10:34

Jack_D

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Hihi

Also heut ist echt der Wurm drin

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x)''' = 24ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x1)''' = 24a(-\sqrt{\frac{-b}{6a} } ) \end{eqnarray*}$

Kann ich das jetzt weiter vereinfachen? mir fällt da nämlich grad nix ein -.-'

28.02.2014, 10:37

Gast11022013

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Es reicht wenn du begründen kannst das dies nun ungleich Null ist.

Ansonsten kannst du nun wieder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$

verwenden. Es könnte auch hilfreich sein das ganze als Potenz zu schreiben. Bedenke, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}=a^{0.5} \end{eqnarray*}$

ist. Dann siehst du vielleicht leichter was sich kürzen, also zusammenfassen, lässt.

Aber wie gesagt, eigentlich musst du nur begründen warum das ungleich Null ist.

28.02.2014, 10:40

Jack_D

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Meine Begründung wär, das A in allen BEispielen nicht null sein kann

28.02.2014, 10:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht wirklich eine Begründung.
Warum kann es nicht Null sein? Das gilt übrigens nicht für alle Beispiele.

28.02.2014, 10:48

Jack_D

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Eben, das ist ja mein Problem...

naja wir haben ja für die Parameter Bedingungen festgelegt bei denen die Diskriminante 0; >0; <0 ist.

Im Fall der Diskriminante >0 und <0 haben wir durch ausschluss festgelegt das a und b ungleich null ist. Somit kann fab(x)'' nicht Null werden.

Anders sieht es im Fall Diskriminante =0 aus. hier haben wir bestimmt das b=0 sein muss
wenn jetzt a = 0 dann wäre hier kein Wendepunkt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

28.02.2014, 10:52

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hört sich doch schon besser an.

$\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt sowieso immer, weil wir diesen Wert aus dem Definitionsbereich nehmen mussten.
Was mich an deiner Begründung oben gestört hatte war, dass du lediglich begründet hast, dass einer der beiden Faktoren ungleich Null ist.
Der andere Faktor ist ungleich Null, weil wir gerade den Fall

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{6a}>0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

Für den anderen Fall:

Wenn b=0 ist, dann ist der Radikand auch Null, also ist hier unsere Lösung einfach x=0

28.02.2014, 10:59

Jack_D

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das reicht als begründung dann aus?

28.02.2014, 11:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn beide Faktoren nicht Null sein können, dann kann das Produkt auch nicht Null sein.

Was passiert nun im Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{-b}{6a}=0 \end{eqnarray*}$

28.02.2014, 11:06

Jack_D

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Diskriminante 0
wir haben somit keinen Wendepunkt ..?

28.02.2014, 11:11

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, weil

$\begin{eqnarray*} f ''(0)=0 \end{eqnarray*}$

Das kannst du dir auch grafisch leicht klar machen.
Wenn der Parameter b=0 ist, dann haben wir lediglich f(x)=ax^4 und das sieht dann aus wie die Normalparabel, geht nur "stärker ins Knie" und ist durch irgendeinen Faktor gestreckt oder gestaucht.
Sowas hat keinen Wendepunkt.

Es war also doch notwendig diese Überprüfung durchzuführen, denn wenn wir vorhin schon gestoppt hätten, dann wären wir zu dem Ergebnis gelangt, dass für b=0 es einen Wendepunkt gibt. Jetzt haben wir gemerkt, dass es für b=0 ebenfalls keinen Wendepunkt gibt.
Es gibt also entweder zwei, oder keinen Wendepunkt.

28.02.2014, 11:28

Jack_D

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Okay...

Dann danke ich dir vielmals für deine Hilfe und wünsch dir ein tolles Wochenende

28.02.2014, 11:30

Gast11022013

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Gern geschehen.

Heute ist Freitag? Big Laugh

Big Laugh

28.02.2014, 11:42

Jack_D

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Ja scheint so =)

Mir sei doch noch eine Frage gestattet was machst du denn beruflich, wenn du
1. ständig hier Antworten kannst
2. zum Mittag Rotwein trinken kannst
3. dir Feiertage egal sind

KLingt nach Student :-D

28.02.2014, 11:46

Gast11022013

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Semesterferien.

Und bezüglich des Mittagessens hatte ich nur aus Hannibal Lecter zitiert.

28.02.2014, 11:55

Jack_D

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Ahh ich verstehe

Dann sollte ich weiterhin meine Fragen in den Semesterferien stellen =)

Grüße

28.02.2014, 11:58

Gast11022013

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Ist nicht so wichtig. Ich lebe quasi hier... Außerdem kriegst du hier eigentlich so gut wie immer auf Fragen zur Kurvendiskussion innerhalb von 10 Minuten ne Antwort.

Ist jetzt aber auch genug off topic hier. Bläht den Thread nur unnötig auf.

Wink

Wink

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