Geradenstück ist Nullmenge

27.02.2014, 16:42

Rafael

Geradenstück ist Nullmenge

Hallo.

Wie kann ich denn beweisen, dass ein Geradenstück mit x=y und 0<x<=1 eine Nullmenge ist? Mir ist klar, dass diese Gerade aus abzählbaren Punkten besteht und die Dicke dieser Gerade gegen Null geht. Aber wie zeige ich das durch explizite Überdeckung durch offene Quader?

27.02.2014, 17:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rafael
Wie kann ich denn beweisen, dass ein Geradenstück mit x=y und 0<x<=1 eine Nullmenge ist?

Du meinst bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue- bzw. Borel-Maßes? verwirrt

Na pflastere doch eine Anzahl kleiner Quadrate drüber, d.h., die in ihrer Vereinigung diese Strecke überdecken. Und dann lass die Anzahl dieser Quadrate gegen unendlich gehen.

27.02.2014, 17:24

Rafael

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Ok. Dann hätte ich zb. ein Quader der Länge 1/n. Wenn ich die nun immer kleiner mache und dadurch immer mehr Quadrate entstehen... geht natürlich die Länge auch gegen 0. Wäre dies jetzt schon der Beweis?

27.02.2014, 18:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rafael
Ok. Dann hätte ich zb. ein Quader der Länge 1/n.

Sind wir nun doch in der dritten Dimension statt der zweiten (meine diesbezügliche Frage oben hast du ja nicht beantwortet) ? verwirrt

Oder gehörst du auch zu denen, die Quader und Quadrat verwechseln? Taucht in letzter Zeit immer häufiger auf.

27.02.2014, 18:32

Rafael

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Ich bin in der zweiten Dimension R2. Aber ich glaube in der Aufgabenstellung wo ich die Aufgabe her habe ist ein Fehler. Denn wie du schon sagtest müsste es ein Quadrat sein. Und ich meine dies bezüglich des Lebesque-Maßes.

27.02.2014, 18:40

HAL 9000

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Na ok, gehen wir von offenen Rechtecken aus. Dadurch, dass sie offen sein sollen, müssen sie sich in der Überdeckung natürlich überlappen, damit auch wirklich alle Punkte der Diagonale von (0,0) bis (1,1) überdeckt sind, ich bezeiche die Menge dieser Diagonalenpunkte mal mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Beispielsweise erfüllt

$\begin{eqnarray*} A_n = \bigcup\limits_{k=0}^n Q_{n,k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q_{n,k} := \left( \frac{k-1}{n}, \frac{k+1}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$

diese Bedingung $\begin{eqnarray*} A\subset A_n \end{eqnarray*}$ , es folgt

$\begin{eqnarray*} \lambda(A)\leq \lambda(A_n) = \lambda\left( \bigcup\limits_{k=0}^n Q_{n,k} \right) \leq \sum_{k=0}^n \lambda\left( Q_{n,k} \right) = (n+1)\cdot \frac{4}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Rafael
Mir ist klar, dass diese Gerade aus abzählbaren Punkten besteht

Nein, die Diagonalenmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besteht aus überabzählbar vielen Punkten.

27.02.2014, 18:46

Rafael

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Ok danke. Ich muss nochmal darüber sinnieren, aber ich glaube so langsam versteh ich das ganze.

27.02.2014, 20:22

10001000Nick1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Oder gehörst du auch zu denen, die Quader und Quadrat verwechseln?

Zitat:

Original von Rafael
Aber ich glaube in der Aufgabenstellung wo ich die Aufgabe her habe ist ein Fehler. Denn wie du schon sagtest müsste es ein Quadrat sein.

Bei mir in der Analysis-Vorlesung wurden Quader folgendermaßen definiert: Ein Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist das kartesische Produkt von n beschränkten Intervallen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
D.h. ein Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist einfach ein beschränktes Intervall, und ein Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist ein Rechteck.
Also ist es vielleicht doch kein Fehler.

27.02.2014, 20:30

HAL 9000

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Jein: Quader ohne Attribut ist m.E. das dreidimensionale Gebilde. Wenn von d-dimensionalen Quader, dann also hier insbesondere "zweidimensionalen Quader" die Rede ist - Ok, lass ich gelten, auch wenn man es dann auch gleich "Rechteck" nennen kann. Augenzwinkern

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