Ewige jährliche Auszahlung

27.02.2014, 23:00

Sonnenschein84

Ewige jährliche Auszahlung

Meine Frage:
Liebes Matheboard-Team!

Erstmal entschuldigung weil ich mein Frage unter "Sonstiges" stelle.

Ich bitte um eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Ich lege 60000 auf ein Sparbuch und will eine ewige jährliche Auszahlung von 1500 erhalten. Mit welchem Zinssatz muss das Sparguthaben verzinst werden?

Meine Ideen:
Ich habe wirklcih keine Ahnung wie das funktioniert :-(

Vielen Dank im Voraus schon mal für eure Hilfe!

27.02.2014, 23:59

Kasen75

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Hallo Sonnenschein,

hast du keine Formel für die "ewige Rente" in deinen Büchern ?
Ansonsten kannst du den Grenzwert bilden, bei der Formel für den Barwert der nachschüssigen Rente:

$\begin{eqnarray*} K_0=\lim_{n \to \infty} r \cdot \frac{q^n-1}{q-1} \cdot \frac{1}{q^n}=\lim_{n \to \infty} r \cdot \frac{q^n-1}{q^n} \cdot \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$
Dabei ist q=1+i. Und i ist der Zinssatz
$\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ sind die 60.000
r sind die ewigen jährlichen Auszahlungen.

Grüße

28.02.2014, 07:18

Sonnenschein84

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Guten Morgen Kasen!

Boa das überfordert mich jetzt grad...

so ein wirkliches Buch haben wir leider nicht, und auf den Mitschriften vom Unterricht hab ich mir notiert: "ewige Rente...... R0 = R/i

ich bin mir aber irgendwie nicht sicher ob das da dazugehört geschockt

28.02.2014, 09:48

Jack_D

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Kann sein das ich jetzt grad was übersehe, aber da du keine Nebenbedingung hast, kann man die Frage auch einfach so formulieren " Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit 60.000 im Jahr 1500 abwerfen.
Denn dann minimierst den Barwert nicht. Anders wär es wenn du einen vorgegeben Zeitraum hast (und in diesem das Kapital "aufbrauchen" kannst)

So zur eigentlichen Fragestellung

$\begin{eqnarray*} \frac{Zinsbetrag}{Barwert}=Zinssatz= \frac{1500}{60000} =i=0,025 \end{eqnarray*}$

28.02.2014, 11:46

Kasen75

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Zitat:

Original von Sonnenschein84

so ein wirkliches Buch haben wir leider nicht, und auf den Mitschriften vom Unterricht hab ich mir notiert: "ewige Rente...... R0 = R/i

ich bin mir aber irgendwie nicht sicher ob das da dazugehört geschockt

Genau das gehört da zu. Freude

Jack_D hat dir die Lösung schon hingeschrieben-auch wenn es nicht gerade im Sinne des Erfinders ist die Lösung direkt hinzuschreiben.

Auf die "Formel" kommst du auch, wenn du den Grenzwert bildest, wie in meinem letzten Beitrag. Ich schreibe mal $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} R_0=\lim_{n \to \infty} r \cdot \frac{q^n-1}{q-1} \cdot \frac{1}{q^n}=\lim_{n \to \infty} r \cdot \frac{q^n-1}{q^n} \cdot \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$
Dabei ist q=1+i. Und i ist der Zinssatz
$\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ sind die 60.000
r sind die ewigen jährlichen Auszahlungen.

Jetzt kann man noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$ und r vor den Limes ziehen, da in beiden Fällen kein n vorkommt.

$\begin{eqnarray*} R_0= r \cdot \frac{1}{q-1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{q^n-1}{q^n} \end{eqnarray*}$

Wenn du mit q=1+i den Ausdruck für q in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann bist du schon fast am Ziel.

Um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{q^n-1}{q^n} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, kannst du erst einmal den Bruch aufteilen. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{q^n}-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{q^n} \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{q^n} \end{eqnarray*}$ kann man den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q^n} \end{eqnarray*}$ erweitern, sodass auch dieser Term nicht mehr von n abhängt. Um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{q^n} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen kannst du z.B. für q=1,1 große Werte für n einsetzen, dann ist erkennbar, welcher Grenzwert sich hier ergibt.

28.02.2014, 16:04

Jack_D

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Hallo Kasen

Danke für den Hinweis. Bin quasi der neue hier und mit den Gepflogenheiten nicht so vertraut.
In den anderen Foren in denen ich aktiv bin ist immer nur die Lösung entscheidend.

Aber ich hab nicht die komplette Lösung verraten. Sonst hätt ich die Kapitalertragssteuer mit erwähnt Augenzwinkern

Grüße

28.02.2014, 16:31

Kasen75

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@Jack_D

Kein Thema. Wir freuen uns immer wenn sich User als Helfer (sowie als Fragesteller)betätigen. Willkommen

Letztendlich versucht das Matheboard möglichst viel Eigenbeteiligung aus den Fragestellern herauszuholen, sodass bei ähnlich gelagerten Probleme die Fragesteller selber Ansätze für sich finden können. Wie weit man hilft ist in gewisser Weise auch Interpretationssache.

Ich wollte sonneschein84 soviel Backround mitgeben, dass sie letztendlich selber auf die Lösung kommt. Das war zumindest meine Idee.

Also nicht von meiner Bemerkung, im letzten Beitrag, abschrecken lassen.

Grüße.

28.02.2014, 19:01

Jack_D

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Hallo Kasen.

Danke für deine Antwort. Ich lass mich nicht abschrecken. Zumindest nicht so einfach.
Ich wollte mich auf diesem
Weg für die Erkenntnis bedanken. Und zwar dass es natürlich sinnvoll ist Hilfe zur Selbsthilfe zu geben.

In diesem Sinne ein schönes Wochenende

Grüße

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