Skalarprodukt vertauschen möglich?

28.02.2014, 08:15

MacMarde

Skalarprodukt vertauschen möglich?

Meine Frage:
Woher weiß ich beim Skalarprdoukt ob ich den Vektor a auf den Vektor b projiziere bzw. ob ich andersrum den Vektor b auf den Vektor a projiziere.
Beziehungsweise was muss ich machen um das zu definieren?

Meine Ideen:
Beim Skalarprodukt wird der Vektor b auf den Vektor a projiziert. Die Projektion nennt man ba.
Was aber wenn ich nun eigentlich den Vektor a auf den Vektor b projizieren will?
Dieses theoretische Problem verwirrt mich, denn mathematisch kommt in beiden Fällen das gleiche raus. Ob ich $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{b} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{b} * \vec{a} \end{eqnarray*}$ rechne ist egal. Wo bleibt da die Definition? Woher weiß ich was auf was projiziert wird. Gemoetrisch macht das sehr wohl einen Unterschied!

28.02.2014, 08:18

Dopap

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von der Projektion wird der orientierte Betrag genommen und mit dem Betrag des 2.ten Vekors multipliziert.
Dann ist die Reihenfolge unwichtig.

28.02.2014, 08:29

MacMarde

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Versteh ich jetzt nicht!
Bitte erklären.

Also hier mal ein Bild aus Wikipedia:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Dot-product-2.svg/220px-Dot-product-2.svg.png

Dort wird b auf a projiziert. Aber was mach ich wenn ich eigentlich a auf b projizieren will. Das ergibt doch ein anderes Ergebnis.

28.02.2014, 08:43

Dopap

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nein

Fall 1.) $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \underbrace {( |\vec b| \cos(\alpha)}_{\rm Projektion} \end{eqnarray*}$

Fall 1.) $\begin{eqnarray*} \vec b \cdot \vec a = |\vec b| \underbrace {( |\vec a| \cos(\alpha)}_{\rm Projektion} \end{eqnarray*}$

dasselbe Ergebnis.

28.02.2014, 08:50

MacMarde

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So schlau bin ich ja auch schon.
Mir ist das nur nicht klar.

Aber woher weiß ich das b auf a projiziert wird und nicht umgekehrt bzw. was mach wenn ich die umgekehrte Projektion haben will.
Ich habe mir zwei Vektoren auf ein Blatt Papier gemalt und da kommt nicht das gleiche Ergebnis raus je nachdem welchen Vektor ich nun auf den anderen projiziere.

28.02.2014, 08:54

Dopap

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Du musst von der Projektion die Länge nehmen, und die mit der Länge des anderen Vektors multiplizieren, dann ist das Ergebnis in beiden Fällen gleich.

Probier das mal mit einem Geodreieck aus.

28.02.2014, 09:17

MacMarde

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OK danke für die Hilfe. Ich habe da was durcheinander gebracht.

Eigentlich will ich ja was anderes machen und bin nur durcheinander gekommen.

Also angenommen ich habe einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ von beliebiger Richtung und Betrag und möchte nun einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ berechnen, der -45° von ersten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ausgerichtet ist und einen Betrag von 10 hat.

Kann ich dann folgende Formel verwenden die vom Skalarprodukt herkommt:?

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \frac{\cos(\gamma ) * | \vec{a}| *| \vec{b}|}{\vec{a}} \end{eqnarray*}$

Bekomme ich dann also einen Vektor der Länge 10 der -45° vom ersten Vektor ausgerichtet ist?

28.02.2014, 09:27

Dopap

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Zitat:

Original von MacMarde

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \frac{\cos(\gamma ) * | \vec{a}| *| \vec{b}|}{\vec{a}} \end{eqnarray*}$

das ist natürlich Unfug. Seit wann kann man mit einem Vektor dividieren. ??

28.02.2014, 09:32

MacMarde

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Entschuldigung ich habe nur die Formel umgestellt.

Was könnte ich denn dann machen wenn ich einen Vektor bilden will der -45° vom ersten Vektor ausgerichtet ist und einen gewissen Betrag hat?

28.02.2014, 09:43

Dopap

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ich würde $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ zeichnen und dann mit -45° eine HalbGerade zeichnen und dann den Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ darauf abtragen.

28.02.2014, 09:46

MacMarde

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Geht nicht weil ich ein Programm schreiben will wo das verwendet wird.

Ich habe folgende Formel hier gefunden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich die Rotationsmatrix verwenden? Dann den Einheitsvektor von b bilden und mit 10 multiplizieren?

28.02.2014, 10:20

Dopap

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ja.

In dem Thread sind ja alle Möglichkeiten aufgeführt.

Recht einfach geht es auch mit:

1.) $\begin{eqnarray*} \alpha =\arctan ( \frac {a_2}{a_1}) \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \beta= 45° +\alpha \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \vec b = |\vec b|\binom {\cos (\beta)}{\sin(\beta)} \end{eqnarray*}$

28.02.2014, 10:22

MacMarde

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Danke Du bist der Beste!!!

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