Umkehrfunktion

Neue Frage »

28.02.2014, 10:32	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion Die Aufgabenstellung: Gegeben sei die Funktion f mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{4}{x-2} \end{eqnarray}$ 1) Zeige, dass die Funktion f umkehrbar ist. 2) Bestimme die Umkehrfunktion der Funktion f. Mein Problem / Ansatz: Da ich in Aufgabe 2 die Umkehrfunktion bestimmen soll, nehme ich an, dass ich die umkehrbarere nicht zeigen kann anhand der Tatsache, dass ich sie umkehre. Wie kann ich die Umkehrbarkeit von f nachweisen ohne sie umzukehren?
28.02.2014, 10:41	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann das Monotonieverhalten von f(x) bestimmen und daraus schließen, dass die Funktion umkehrbar ist.
28.02.2014, 10:45	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist vielleicht problematisch, das man gar nicht weiß wo die Funktion definiert ist.
28.02.2014, 10:48	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ich gehe mal davon aus, dass der Def.bereich $\begin{eqnarray} \mathbb \mathbb R ^{\neq 2} \end{eqnarray}$ ist.
28.02.2014, 10:53	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht natürlich Sinn, aber der Vollständigkeit wegen: es ist wohl $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \backslash \left\{ 2\right\} \to \mathbb R \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ gemeint.
28.02.2014, 11:00	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss mich vorübergehend ausklinken. bijektion wird wohl weitermachen
Anzeige

28.02.2014, 11:00	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst die Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-4}{(x-2)^2} =\frac{-4}{x^2-4x+4} \end{eqnarray}$ Nullstellen um die Monotonie zu untersuchen: $\begin{eqnarray} \frac{-4}{x^2-4x+4} = 0 \|\cdot(x^2-4x+2) <br /> -4\neq 0 \end{eqnarray}$ f(x) hat also keinen Monotoniewechsel. Aus der Bestimmung ergibt sich die Monotonie richtig? $\begin{eqnarray} f'(3)=(-4) \end{eqnarray}$ Also ist f(x) streng monoton fallend, weshalb sie umkehrbar ist? Upps vergessen: Der Definitionsbereich ist x>2
28.02.2014, 11:06	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist monoton fallend und auch umkehrbar. Allerdings musst du noch den Wertebereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bestimmen, um den Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ zu erhalten. EDIT: Außerdem ist die Stetigkeit noch notwendig, damit man nicht noch Surjektivität zeigen muss, allerdings ist das wohl in der Schulmathematik nicht notwendig.
28.02.2014, 11:15	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Wertebereich erhalte ich durch einsetzen des Definitionsbereichs in f(x) oder?
28.02.2014, 11:22	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Bild von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist gleich dem Wertebereich, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ja Surjektiv ist.
28.02.2014, 11:29	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Was ist Surjektiv? 2. Wie kann ich den X-Wert aus einem offenen Intervall in f(x) einsetzen? Grenzwert bilden?
28.02.2014, 11:32	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektiv bedeutet, das jeder Wert des Wertebereichs auch angenommen wird. Kannst du natürlich machen, es reicht für deine Zwecke aber bestimmt auch aus, die Funktion einmal zu plotten, um sich dann anzuschauen, wie sie sich verhält.
28.02.2014, 13:00	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
So inetwa? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2+} f(x)=\infty <br /> \lim_{x \to \infty } f(x)=0 \end{eqnarray}$
28.02.2014, 13:14	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist dann also der Wertebereich?
28.02.2014, 13:25	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Werte Bereich von f $\begin{eqnarray} ]0;\infty[ \end{eqnarray}$ und von der Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} ]2;\infty[ \end{eqnarray}$ Ps: Ich find deine Signatur gut!
28.02.2014, 13:42	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also ist $\begin{eqnarray} f: (2,\infty) \to (0,\infty), f(x)=\frac{4}{x-2} \end{eqnarray}$ . Jetzt müssen wir nur noch $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ berechnen. Danke
28.02.2014, 13:47	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die hab ich schon $\begin{eqnarray} f^{-1}(x)=\frac{4}{x} +2 \end{eqnarray}$
28.02.2014, 13:48	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bist du ja fertig

Neue Frage »

Antworten »

Umkehrfunktion

Verwandte Themen