Integrationstheorie, Konvergenzsätze

28.02.2014, 16:25

Till1990

Integrationstheorie, Konvergenzsätze

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Integral gegeben $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\sqrt{n} } \! \left(1-\frac{x^2}{2n} \right)^n \, dx \end{eqnarray*}$ , gesucht ist der Wert des Integrals.

Das erste was ich erkannt habe ist die e-Funktion.

Um das Integral zu lösen habe ich festgestellt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\left(1-\frac{x^2}{2n} \right)^n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Somit erhalte ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty } \! e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx =\sqrt{(\pi/2)} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt?

01.03.2014, 17:39

Che Netzer

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RE: Integrationstheorie, Konvergenzsätze

Zitat:

Original von Till1990
ich habe folgendes Integral gegeben $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\sqrt{n} } \! \left(1-\frac{x^2}{2n} \right)^n \, dx \end{eqnarray*}$ , gesucht ist der Wert des Integrals.

Das ist kein Integral! Es ist der Grenzwert einer Folge von Integralen.

Zitat:

dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\left(1-\frac{x^2}{2n} \right)^n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Tatsächlich? Bzw.: Wo tut sie das?

Zitat:

Somit erhalte ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty } \! e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx =\sqrt{(\pi/2)} \end{eqnarray*}$ .

Hier fehlt noch eine Begründung.
Wieso darfst du Grenzwert und Integral vertauschen? Was passiert mit der variablen oberen Grenze?

02.03.2014, 11:35

Till1990

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Hallo Che,

da habe ich sicher etwas unsauber aufgeschrieben. Asche auf mein Haupt.

So, was ich für diese Folge von Integralen anzuwenden glaube ist, dass $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x^2}{2n} \right)^n \to e^{\frac{-x^2}{2} } \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Ich denke das dürfte klar sein, denn es folgt ja direkt aus der Darstellung der e-Funktion als Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ .

Die Frage warum ich Grenzwert und Integral vertauschen darf habe ich mir mit der Gleichmäßigen Konvergenz erklärt.

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} \! f_n(x) \, dx = \lim_{n,k \to \infty} \int_0^{\sqrt{k}} \! f_n(x) \, dx = \lim_{k \to \infty}\lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{k}} \! f_n(x) \, dx =^{*}\lim_{k \to \infty} \int_0^{\sqrt{k}} \!\lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} \int_0^{\sqrt{k}} \! f(x) \, dx = \int_0^{\infty} \! f(x) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

Bei * benutze ich die gleichmäßige Konvergenz um Grenzwert und Integral zu vertauschen. Insbesondere Konvergiert die Folge auch auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\sqrt{k}\right] \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x^2}{2} } \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dass es so richtig ist.

02.03.2014, 11:43

Che Netzer

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So klingt das schon besser.

02.03.2014, 14:22

Ungewiss

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Gibt es an dem ersten Schritt wirklich nichts auszusetzen?

Die Aufteilung des Grenzwertes in zwei verschiedene Grenzwerte liefert für
$\begin{eqnarray*} f_n:= \frac{1}{\sqrt{n}} \chi_{[0,\sqrt{n}]} \end{eqnarray*}$
kein richtiges Ergebnis, und diese Folge konvergiert auch gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [0,\sqrt{k}] \end{eqnarray*}$ für jedes feste $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

02.03.2014, 15:58

Till1990

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Hi Ungewiss,

ich kann dein Einwand verstehen.

In meinem Skript habe ich dazu, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar sein muss. Also $\begin{eqnarray*} \int_\Omega \! f(x) \, dx <\infty \end{eqnarray*}$ insbesondere also auch für $\begin{eqnarray*} \Omega = \left[0,\infty\right] \end{eqnarray*}$ .

Vergleiche dazu mal den Satz von der majorisierten Konvergenz.

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