Vollständigkeit zeigen

01.03.2014, 17:02	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit zeigen Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^n,\\| \cdot \\|_1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|x\\|=\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$ ein normierter Raum. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^n,\\| \cdot \\|_1) \end{eqnarray}$ ein Banachraum ist Meine Lösung Sei $\begin{eqnarray} (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge, dann können wir ein $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ wählen und finden ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \\|x_k - x_l \\|_1 \le \varepsilon, \forall k,l \ge N \end{eqnarray}$ Nach Definition gilt $\begin{eqnarray} \\|x_k-x_l \\|_1 = \sum_{i=0}^n \|x_i^{(k)}-x_i^{(l)}\| \le \varepsilon \end{eqnarray}$ , insb. gilt dann auch $\begin{eqnarray} \|x_i^{(k)}-x_i^{(l)}\| \le \varepsilon \end{eqnarray}$ . Wegen der Vollständigkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ finden wir ein $\begin{eqnarray} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \rightarrow \infty} \|x_i^{(k)} - y \| = 0 \end{eqnarray}$ . Jetzt definieren wir $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , so dass die i-te Komponente in der Folge gegen die i-te Komponente von x konvergiert. Nun wollen wir zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} (x_k) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert: $\begin{eqnarray} \\| x_k - x \\| = \sum_{i=1}^n \| x_i^{(k)}-x_i \| \end{eqnarray}$ , zu einem beliebigen $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ , wähle ich ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \| x_i^{(k)}-x_i \| \le \frac{\varepsilon}{n}, \forall k \ge N \forall i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Dieses N finde ich, wegen der komponentenweisen Konvergenz. $\begin{eqnarray} \Longrightarrow \\| x_k - x \\| = \sum_{i=1}^n \| x_i^{(k)}-x_i \| \le n \cdot \frac{\varepsilon}{n} = \varepsilon \end{eqnarray}$ Somit konvergiert die Folge gegen x und es folgt die Vollständigkeit. ist die Argumentation so in Ordnung?
01.03.2014, 17:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Argumentation ist in Ordnung; nur die Indizes sind teilweise ungünstig gewählt.
02.03.2014, 09:22	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort

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