Reihe in geometrische Reihe überführen

01.03.2014, 19:26

buntspecht

Reihe in geometrische Reihe überführen

Meine Frage:
Hallo, ich soll für eine Reihe den Grenzwert berechnen, falls dieser existiert. Dazu soll ich die gegebene Reihe vorher in einer geometrische Reihe überführen. Nur leider stecke ich nun fest und würde mich über eure Hilfe freuen smile

Meine Ideen:
gegebene Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n-1 }+{ 7 }^{ n } }{ { 2 }^{ n+1 }+{ 7 }^{ n+1 } } } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n }*\frac { 1 }{ 2 } +{ 7 }^{ n } }{ { 2*2 }^{ n }+7*{ 7 }^{ n } } } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 4+\frac { 14 }{ { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ n } } } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 7+\frac { 2 }{ { \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ n } } } } \end{eqnarray*}$

Die Umformung ist soweit korrekt**

01.03.2014, 19:27

buntspecht

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**http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2%...7%2F2)%5En%2B7)

Link zu wolfram|alpha, falls jemand dort weiterrechnen möchte smile

edit: Link inkl. Eingabe geht irgendwie nicht, also hier der Befehl für wolfram:

code:
1:	(2^(n-1)+7^n)/(2^(n+1)+7^(n+1))==1/(4+14/(2/7)^n)+1/(2/(7/2)^n+7)

01.03.2014, 19:30

Che Netzer

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RE: Reihe in geometrische Reihe überführen

Zitat:

Original von buntspecht
Hallo, ich soll für eine Reihe den Grenzwert berechnen, falls dieser existiert.

Und? Existiert er?

01.03.2014, 19:36

buntspecht

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Also wenn ich's bei wolfram eingebe, dann kommt raus, dass die Reihe divergent ist. Aber ich möchte das ja schriftlich durch Umformungen zeigen.

01.03.2014, 19:39

Che Netzer

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Die Divergenz einer Reihe zeigt man aber selten, indem man sie umformt und auseinanderzieht. Da gibt es ganz elementare Kriterien.

01.03.2014, 19:43

buntspecht

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Ich soll eben gerade nicht die Konvergenzkriterien anwenden, sondern die Summe berechnen, indem ich es auf geometrische Reihen auseinanderziehe, wahrscheinlich kommt dann eben eine geometrische Reihe heraus, die divergent ist da q>1 für q^k ist.

01.03.2014, 19:46

Che Netzer

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Ich vermute, du sollst die Reihe zur Berechnung eines eventuellen Grenzwertes auf die geometrische Reihe zurückführen, darfst die Existenz eines Grenzwertes aber gerne mit anderen Kriterien widerlegen.
Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung?

Zitat:

da q>1 für q^k ist.

Was soll das eigentlich bedeuten?

01.03.2014, 20:39

buntspecht

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also die Komplette Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

Welche der angegebenen Zahlenreihen sind nicht konvergent (Verwenden Sie das Nullfolgenkriterium)? Berechnen Sie fur die konvergenten Reihen ihre Summe, indem Sie sie auf passende geometrische Reihen zurückführen:

und mit dem q habe ich das gemeint:

$\begin{eqnarray*} Geometrische\quad Reihe:\quad \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { q }^{ k } } \\ Fuer\quad \left| q \right| \ge 1\quad ist\quad die\quad Reihe\quad divergent. \end{eqnarray*}$

01.03.2014, 21:09

buntspecht

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RE: Reihe in geometrische Reihe überführen
als letzter Schritt fällt mir bis jetzt nur noch auf:

$\begin{eqnarray*} \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 4+14*{ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ n } } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 7+2*{ \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ n } } } \end{eqnarray*}$

01.03.2014, 21:13

Che Netzer

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In der Aufgabenstellung steht doch sogar explizit, mit welchem Kriterium du die Divergenz nachweisen sollst verwirrt

01.03.2014, 21:23

buntspecht

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ach stimmt, Wald vor lauter Bäumen usw. Big Laugh

also kann ich quasi sagen, dass der 1. Term eine divergente Folge ist und beim 2. Term die Folge gegen 1/7 konvergiert. Somit sind dies keine Nullfolgen und die Reihe ist nicht konvergent.

Wäre das die Begründung nach Nullfolgenkriterium?

01.03.2014, 21:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von buntspecht
also kann ich quasi sagen, dass der 1. Term eine divergente Folge ist und beim 2. Term die Folge gegen 1/7 konvergiert.

Von welchen Termen redest du denn?
Es geht darum, ob $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n-1}+7^n}{2^{n+1}+7^{n+1}} \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.

Der Summand
$\begin{eqnarray*} \frac1{4+14\left(\frac72\right)^n} \end{eqnarray*}$
aus deinem letzten Beitrag ist keineswegs divergent.

01.03.2014, 21:28

buntspecht

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ja ich beziehe mich auf die letzte Umformung mit den beiden Summanden.
Dabei meinte ich natürlich, dass der 1. Summand 0 konvergiert, allerdings der 2. Summand gegen 1/7 und somit ist die Reihe nicht konvergent?

01.03.2014, 21:28

Che Netzer

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Das klingt besser.

01.03.2014, 21:30

buntspecht

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Danke schön. Ich sollte nun allerdings Schluss machen, es treten schließlich schon sinnlose Schusselfehler auf^^

Grüße und schönen Abend noch.

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