lineares Gleichungssystem mit Parametern auf beiden Seiten - Lösungsmengen

01.03.2014, 23:42

Haruun

lineares Gleichungssystem mit Parametern auf beiden Seiten - Lösungsmengen

Meine Frage:
Hallo!

Ich rechne seit mehreren Stunden an einer Aufgabe und bin jetzt zur Einsicht gekommen, dass ich Hilfe brauche...

Aufgabe 9 b) :

Für welchen Wert des Parameters r hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen?

$\begin{eqnarray*} I: 4{ x }_{ 1 } - 2 { x }_{ 2 } + \frac{1}{3} { x }_{3} = 0 II: r{ x }_{1} + 6{ x }_{ 2 } - { x }_{ 3 } = 0 III: 5{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }+7{ x }_{ 3 }=4r \end{eqnarray*}$

Kurze Vorwarnung: der Formeleditor bereitet mir Schwierigkeiten, deswegen ist es vielleicht etwas unübersichtlich...

Meine Ideen:
Ich muss das LGS nach dem Gauß-Verfahren auf Stufenform bringen:

$\begin{eqnarray*} I\quad 5{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }+7{ x }_{ 3 }=4r\\ II\quad r{ x }_{ 1 }+6{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }=0\quad \qquad \\ III\quad 4{ x }_{ 1 }-2{ x }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }_{ 3 }=0\quad \qquad \\ |\quad { III }_{ a }=I-\frac { 5 }{ 4 } III\quad |\quad { II }_{ a }=r\cdot I-5\cdot II \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} I: 5x_{ 1 } + 2x_{ 2 } +7x_{ 3 } = 4r IIa: (2r-30)x_{ 2 } + (7r+5)x_{ 3 } = 4r² IIIa: \frac{9}{2}x_{ 2 } + \frac{79}{12}x_{ 3 } = 4r \end{eqnarray*}$

Dann noch $\begin{eqnarray*} { x }_{ 2 } \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} IIIa \end{eqnarray*}$ entfernen: $\begin{eqnarray*} IIIb = I - \frac{4}{9}IIIa \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} IIIb : \frac{110}{27}{ x }_{ 3 } = \frac{20}{9} r \Rightarrow x_3 = \frac{6}{11}r \end{eqnarray*}$

Da nach dem Wert des Parameters r gefragt wird, muss ich ja jetzt meines Wissens schauen, wann was 0 wird. Da bin ich aber irgendwie überfordert - ich hab das Gefühl, dass das, was ich bisher hab, irgendwie falsch ist.
Zwei aus meinem Kurs meinten, dass für r = -12 unendlich Lösungen herauskommen und eine Lösung für r =/ -12 . Auf diesen Wert komme ich aber überhaupt nicht bei meinen Rechnungen.

Falls es wichtig ist: Ich habe auch die anderen x-Werte in Abhängigkeit von r berechnet.

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{1}{11}r x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler und wie gehe ich bei solchen Aufgaben (Parameter beidseitig) vor? Nächsten Mittwoch schreiben wir eine Klausur, bei der auch solche Aufgaben drankommen sollen...deswegen sollte ich das Prinzip schon verstanden haben.

Vielen Dank im Voraus!

01.03.2014, 23:58

Gast11022013

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RE: lineares Gleichungssystem mit Parametern auf beiden Seiten - Lösungsmengen
Du solltest am Anfang den Koeffizienten von x_1 der ersten und dritten Zeile vertauscht haben. Ich habe mit den Werten gerechnet die du angegeben hast, als du die Gleichungen ein zweites mal aufgeschrieben hast.
Außerdem ist die erste Gleichung am Anfang gleich Null, aber hinterher ist auch dies mit der dritten Gleichung getauscht.

Leider solltest du schon nach den ersten Umformungen recht viele Fehler gemacht haben. Dabei handelt es sich hauptsächlich um Vorzeichenfehler.

Ich erhalte, wenn ich deine Umformungen durchführe:

$\begin{eqnarray*} I. 5x_1-2x_2+\frac13x_3=0 II. -(2r+30)x_2+\left(\frac13r+5\right)x_3=0 III. -\frac92x_2-\frac{101}{12}x_3=4r \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe mich nicht selbst verrechnet.

Überprüfe noch einmal dein LGS damit ich Gewissheit habe, dass ich mit dem richtigem rechne.

02.03.2014, 00:11

Haruuun

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Danke für die schnelle Antwort.

ich dachte, man kann die Gleichungen am Anfang untereinander vertauschen? Ich habe die erste Gleichung bewusst mit der dritten vertauscht.

Des Weiteren habe ich meine Rechnungen noch einmal überprüft, die müssten stimmen. Du hast einige Fehler gemacht, wenn ich nicht total blind bin.

Ein Beispiel: In der dritten Gleichung hast du $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ , das muss aber positiv sein, da wir doppelt Minus rechnen.

Und ich kann mir nicht erklären, wie du auf $\begin{eqnarray*} -\frac{101}{12} \end{eqnarray*}$ kommst...

02.03.2014, 00:17

Dopap

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@Haruuun: ich kann deine Lösung bestätigen.

02.03.2014, 00:18

Haruun

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Tut mir Leid für den Doppelpost.

Du scheinst durcheinander gekommen zu sein zwischen der Reihenfolge der LGS in meiner Fragestellung und in meinem Lösungsansatz.

Deswegen kommst du auf ganz andere Ergebnisse...

02.03.2014, 00:18

Gast11022013

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Ach okay, du hast die erste Gleichung mit der dritten vertauscht, dass erklärt einiges ich hatte irgendwie zu erst nur gesehen, dass der Koeffizient später anders war und ganz am Ende dann auch noch, dass es nicht gleich Null gesetzt wurde sondern 4r.
Ich habe also deine Vertauschung nicht berücksichtigt. Das erklärt die ganzen Fehler.
Ich rechne es schnell nochmal nach.

Edit: Okay, dann kann ich mir das ja sparen, wenn Dopap es schon bestätigt hat.

02.03.2014, 00:22

Haruun

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Kein Problem...

Meine Frage ist jetzt nur, wie es von da an weitergeht und wie ich auf die jeweiligen Lösungsmengen komme.

Vielen Dank für eure Bemühungen!

02.03.2014, 00:28

Dopap

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wenn du irgendwo mit r multipliziert hast, dann behandele den Fall extra.

Gute Nacht an euch beide Wink

02.03.2014, 00:46

Haruun

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Tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht...

Gute Nacht auch an dich Wink

02.03.2014, 19:59

Dopap

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wenn man den Gauss-Jordan macht, erhält man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 12 & -6 & 1 & 0 \\0 & 54 & 79 & 48r \\0 & 0 & 11r+132 & r(6r+72) \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei wurde eine Zeile mit r multipliziert und einmal eine andere Zeile mit (r+12)

und die Fälle werden getestet:

1.) $\begin{eqnarray*} r=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert nur die triviale Lösung.

2.) $\begin{eqnarray*} r=-12 \Rightarrow \text{Zeile3:}\qquad 0x_1+0x_2+0x_3=0 \end{eqnarray*}$

a.) und was kann daraus gefolgert werden?
b.) für alle anderen r gibt es genau eine Lösung.
c.) gibt es den Fall der Unlösbarkeit ?

04.03.2014, 17:51

Haruun

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Vielen Dank.

Wir haben die Aufgabe heute nochmal in der Schule durchgerechnet und ich habe es jetzt verstanden.

Kurz zu deinen Fragen,

a.) aus 0 = 0 kann man folgern, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Wenn man da die x-Werte berechnen müsste, wären diese dann in Abhängigkeit von t.

c.) Nein, hier gibt es nicht den Fall der Unlösbarkeit.

Danke nochmal für eure Hilfe, und wünscht mir viel Erfolg in der morgigen Klausur! Wink

04.03.2014, 18:18

Dopap

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Zitat:

Original von Haruun

Danke nochmal für eure Hilfe, und wünscht mir viel Erfolg in der morgigen Klausur! Wink

Sei hiermit geschehen smile

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