Extremwerte bestimmen

02.03.2014, 02:48	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte bestimmen Hi, wäre nett wenn mal jemand drüber schauen könnte ob meine Lösungen stimmen Aufgabenteil c konnte ich nicht lösen Aufgabe: Berechnen Sie die Extremwerte der Funktionen: $\begin{eqnarray} a) z=x^2-xy+y^2+3y \end{eqnarray}$ Meine Lösung: Lokales Minimum $\begin{eqnarray} (-1,-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b) z=x^2+y^2-4x-6y+7 \end{eqnarray}$ Meine Lösung: Lokales Minimum $\begin{eqnarray} (2,3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c) z=2x^3-24x+2y^3-3y^2-12y+9 \end{eqnarray}$ Hier benötige ich hilfe ------------------------------------------------------------------- Rechnung: $\begin{eqnarray} a) z=x^2-xy+y^2+3y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x=2x-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y=-x+2y+3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yy}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xy}=-1 \end{eqnarray}$ --------------------------------------- $\begin{eqnarray} f_x(x,y)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1)2x-y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y(x,y)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) 2y-x+3=0 \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} -->x=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=2x=2(-1)=-2 \end{eqnarray}$ ----------------------------------- $\begin{eqnarray} \Delta=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f^2_{xy}(x,y)>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta=22-(-1)^2>0 \end{eqnarray}$ --->Lokaler Extremwert $\begin{eqnarray} f_{xx}(-1,-2)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}(-1,-2)>0 \end{eqnarray}$ ---> Lokales Minimum $\begin{eqnarray} (-1,-2) \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} b) z=x^2+y^2-4x-6y+7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x=2x-4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y=2y-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yy}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xy}=0 \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} f_x(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1) 2x-4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) 2y-6=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,y)=(2;3) \end{eqnarray}$ ---> Hier bin ich mir nicht sicher ob das so stimmt ! $\begin{eqnarray} \Delta=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f^2_{xy}(x,y)>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 22-0^2>0 \end{eqnarray}$ -->Lokaler Extremwert (2,3) $\begin{eqnarray} f_{xx}(2,3)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}(2,3)>0 \end{eqnarray}$ --> (2,3) Lokales Minimum ----------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} c) z=2x^3-24x+2y^3-3y^2-12y+9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x=6x^2-24 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}=12x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y=6y^2-6y-12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yy}=12y-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xy}=0 \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} f_x(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1)6x^2-24=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) 6y^2-6y-12=0 \end{eqnarray*}$ Hier weiß ich nicht wie man y bestimmen soll
02.03.2014, 02:54	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs gerade gesehen pq Formel $\begin{eqnarray} y_1=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2=-1 \end{eqnarray}$
02.03.2014, 09:07	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte bestimmen Hallo, die Rechnungen sind alle korrekt. Im Aufgabenteil c solltest Du bedenken, daß Du vier Punkte als mögliche Kandidaten für lokale Extrema erhälst, nämlich: $\begin{eqnarray} P_1=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 30 \end{pmatrix} \quad P_2=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad P_3=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -34 \end{pmatrix} \quad P_4=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -61 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur zwei dieser Punkte befinden sich genau auf einem Hügel oder in einer Mulde. Die anderen beiden sind sowas wie die "Wendepunkte" einer Sattelfläche (ich weiß nicht, wie man sowas genau nennt). Auf den Bildern kannst Du sehen, was ich meine. Ich habe Deine Funktion einmal von oben, und einmal von unten photographiert (die z-Werte sind um den Faktor 20 gestaucht, so kann man die Punkte P1 bis P4 besser sehen). Wenn Du die Bilder anklickst, werden sie vergrößert.
05.03.2014, 16:57	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry hat ewas länger gedauert. Hier meine Lösungen: Lokales Minimum $\begin{eqnarray} (2;2) \end{eqnarray}$ Lokales Maximum $\begin{eqnarray} (-2;-1) \end{eqnarray}$ Sattelpunkt $\begin{eqnarray} (2;-1) \end{eqnarray}$ Sattelpunkt $\begin{eqnarray} (-2;2) \end{eqnarray}$ Stimmt das so ?
05.03.2014, 22:47	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte bestimmen Ja, stimmt so. Wobei ich leider nicht weiß, ob "Sattelpunkt" die korrekte Bezeichnung für die Punkte P2 und P3 ist. Aber wir beide wissen, was Du meinst. Und Du meinst das Richtige.

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