Aussagen über Zahlenfolgen beweisen oder widerlegen

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02.03.2014, 10:56	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen über Zahlenfolgen beweisen oder widerlegen hallo liebes matheboard, ich hab 3 sätze die ich entweder beweisen oder (mit einem gegenbeispiel) widerlegen soll. a) wenn an und bn konvergieren, konvergieren dann auch an + bn bzw an - bn ? (gegen unendlich) Ich hab erstmal einen grenzwert aufgeschrieben also für lim an = x und für lim bn = y. kann ich dann einfach sagen dass an + bn dann gegen x + y konvergiert? und an - bn gegen x - y? das kommt mir irgendwie zu einfach vor aber mehr würde ich jetzt auch nicht wissen. b) wenn an und bn monoton steigend sind, ist dann an + bn auch monoton steigend? dazu habe ich folgendes aufgeschrieben: an <= an+1 und bn <= bn+1 , also an und bn sind monoton steigend. dann habe ich cn wie folgt definiert: cn = an + bn kann ich dann einfach sagen dass daraus folgt das : an + bn <= an+1 + bn+1 und somit dann cn = an + bn <= an+1 + bn+1 = cn+1 also cn <= cn+1 ??? reicht das? c) die letzte frage. ist die zahlenfolge an konvergent und die zahlenfolge bn beschränkt, folgt daraus dass an * bn nicht konvergent ist? ist das dann eine aufgabe wo ich ein beispiel finden soll wo ich die aussage mit widerlegen kann? vielen dank für eure hilfe!
02.03.2014, 12:49	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, 1) solange weder x noch y unendlich oder minus unendlich sind, gilt deine Aussage, die du leicht mit der normalen Grenzwertdefinition nachweisen kannst. Für unendlich ergeben sich da so einige Probleme: was ist denn z.B. $\begin{eqnarray} \infty-\infty \end{eqnarray}$ ? 2) Deine Argumentation passt 3) Genau, hier solltest du ein Gegenbeispiel finden Hast du schon eine Idee? Lg kgV
02.03.2014, 13:04	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a). heißt das jetzt dass man mit unendlich - unendlich die aussage a) widerlegt ? zu c) nein, leider fällt mir dazu kein beispiel ein
02.03.2014, 13:06	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
a) je nach dem, in welchem Zahlbereich ihr euch befindet: in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ bedeutet Konvergenz nämlich einen reellen Grenzwert, womit die Aussage immer wahr wäre. Was steht in der Aufgabenstellung? c) such dir zunächst mal eine beschränkte Folge wie wir die dann konvergent kriegen, darum kümmern wir uns nachher, ok?
02.03.2014, 13:58	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
da kein zahlbereich angegeben wurde, denke ich mal dass die reellen zahlen angenommen werden oder? ok zu c). eine beschränkte folge wäre zb 1/n. undzwar nach oben wie unten beschränkt ( 1 und 0 ) und jetzt? keine ahnung was ich damit anfangen soll
02.03.2014, 14:04	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
a) jep, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ würde Sinn machen - kannst du dann die Aussage beweisen? du brauchst dazu im Grunde nur die Grenzwertdefinition hernehmen und einsetzen c) 1/n ist nicht nur beschränkt, sondern auch konvergent. Damit hast du schon Teil 2 unserer Aufgabe erledigt. Dann mache ich eben Teil 1: $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ist beschränkt, nach oben wie unten. Jetzt du: multipliziere die Folgen und prüf das Konvergenzverhalten nach
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02.03.2014, 14:14	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
a) hab ich das nicht in meinem ersten post gemacht? c) 1/n * (-1)^n = (-1)^n / n und konvergiert gegen 0 (abwechselnd vom negativen und positiven. also ist die aussage damit widerlegt. gut
02.03.2014, 14:17	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
a) du hast etwas behauptet, jetzt muss es noch bewiesen werden Natürlich stimmt die Aussage, aber einen Beweis wird es noch brauchen Ich schreib mal die Definition hin, du setzt ein, ok? $\begin{eqnarray} x=\lim_{n\to\infty} a_n\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0:\exists n\in\mathbb N:\forall m\geq n: \|a_m-x\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ So, wie kannst du jetzt die Konvergenz deiner Folgen ausnutzen, um obiges zu bestätigen? c) Jep
02.03.2014, 14:19	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich sage dass lim an = x und lim bn = y ist. ( beide haben einen anderen grenzwert oder den selben) dann kann ich doch sagen, dass an + bn = x + y ist oder nicht? ich weiß ehrlich gesagt nicht was ich a noch mehr beweisen soll.
02.03.2014, 14:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr schon einen Satz über die Addition von Grenzwerten hattet, dann kannst du das so verwenden (aber ich persönlich glaube nicht, dass dieser Satz schon verwendet werden darf - sonst wäre das Ganze ein wenig zuuuuu leicht ) Ansonsten kannst du aber auch $\begin{eqnarray} c_n =a_n+b_n \end{eqnarray}$ untersuchen und darauf den Grenzwert anwenden, das geht auch schnell
02.03.2014, 14:23	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh nicht ganz was du meinst. vielleicht ist das zu offensichtlich dass ich das nicht sehe? ist das nicht irgendwie klar?
02.03.2014, 14:26	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schon irgendwo klar, aber auch elementare Sachen muss man beweisen... Ihr hattet sicher schon den Satz, dass man Grenzwerte addieren kann, oder? Dann untersuch einfach mal $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray}$ und wende das auf die oben genannte Folge $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ an edit(kgV-2.3,15.03): bin erstmal weg. Bis später
02.03.2014, 16:32	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich einfach folgendes sagen: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} (a+b) = \lim_{x\to\infty} a + \lim_{x\to\infty} b = a + b \end{eqnarray}$ ? reicht das? :\ edit(kgV): Latex
02.03.2014, 16:51	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Addition von (existierenden) Grenzwerten reicht das aus, ja und weil beide Grenzwerte existieren, genügt das auch schon. Als Alternative noch den Weg, den ich über die Grenzwertdefinition gemeint habe: Es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}a_n=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}b_n=y \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon>0:\exists n_a\in\mathbb N:\forall m\geq n_a:\|a_n-x\|<\frac{\varepsilon}2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon>0:\exists n_b\in\mathbb N:\forall m\geq n_b:\|b_n-x\|<\frac{\varepsilon}2 \end{eqnarray}$ . Somit gilt für alle $\begin{eqnarray} n>max(n_a,n_b) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \forall \|a_n+b_n-(x+y)\|\leq\|a_n-x\|+\|b_n-y\|<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon \end{eqnarray}$ Der andere Weg tut es aber genauso und ist weniger Aufwand
02.03.2014, 17:00	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ok mhhh vielen dank aber ich glaube nicht dass das von mir verlangt wird. also so wie ich meine mathe-klausur einschätze. mal ne andere frage. kann ich punktlücke wie folgt definieren: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to y+}f(x) = \lim_{x\to y-} f(x) \end{eqnarray}$ & y ist nicht element von Df also hier meine ich y aus dem positiven und y aus dem negativen bereich. edit(kgV):Latex
02.03.2014, 17:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, ist die Funktion stetig nach y fortsetzbar (sofern du $\begin{eqnarray} \lim_{x\to y-}f(x)=\lim_{x\to y+}f(x) \end{eqnarray}$ meinst)
02.03.2014, 17:09	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, war zu faul für latex, sorry. wie schon so oft, danke für deine hilfe unbekannter südtiroler
02.03.2014, 17:13	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer wieder gerne PS. Dein LaTeX werde ich zwecks Lesbarkeit etwas verbessern

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