Rücktransformation Koordinaten

02.03.2014, 13:17	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Rücktransformation Koordinaten Hallo, wenn ich habe $\begin{eqnarray} y=- \frac{b}{2} cos(\theta) \end{eqnarray}$ als Transformationsregel. Wie erhalte ich aus $\begin{eqnarray} \Gamma(\theta)=\Gamma sin(\theta) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \Gamma(y) \end{eqnarray}$ Vielleicht gibt es eine einfachere Variante aber die habe ich mir überlegt: Aus $\begin{eqnarray} y=- \frac{b}{2} cos(\theta) \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \theta=\frac{-b}{2} arccos(y) \end{eqnarray}$ Das einsetzen in $\begin{eqnarray} \Gamma(\theta)=\Gamma sin(\theta) \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} \Gamma(y)=\Gamma sin(\frac{-b}{2} arccos(y) ) \end{eqnarray}$ . Dann gibt es eine Regel $\begin{eqnarray} sin(arccos(y))=\sqrt{1-y^2} \end{eqnarray}$ a) Wie wende ich diese dann hier an? Was passiert mit dem -b/2 ? b) In meiner Lösung taucht kein Minuszeichen mehr auf (-b/2) : $\begin{eqnarray} \Gamma(y)=\Gamma_1 \frac{2}{b} \sqrt{\frac{b}{2}^2 - y^2 } \end{eqnarray}$ Ist das korrekt c) gibt es einen einfacheren Weg? Danke!
04.03.2014, 09:57	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat mir jemand einen Tipp?
04.03.2014, 10:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Erkläre deine Bezeichnungen. Vor allem: Was ist $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ ? Eine Funktion? Eine Konstante? Ist $\begin{eqnarray} \Gamma(\vartheta) \end{eqnarray}$ eine andere Funktion als $\begin{eqnarray} \Gamma(y) \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ gar die Eulersche Gammafunktion? Du verwendest $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ in mindestens drei unterschiedlichen Bedeutungen. Später kommt dann auch noch ein $\begin{eqnarray} \Gamma_1 \end{eqnarray}$ . Weil da keiner durchblickt, hilft dir auch keiner. Ich vermute, daß der Wirrwarr von der Unart der Physiker herkommt, zwischen der abhängigen Variablen einer Funktion und dem Funktionsbezeichner nicht zu unterscheiden. Diese Gleichsetzung ist für den Kalkül oft sehr praktisch, kann aber gelegentlich zu Konfusionen führen. Das scheint mir hier der Fall zu sein.
04.03.2014, 11:00	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Gamma(\theta) \end{eqnarray}$ ist folgende Funktion: $\begin{eqnarray} \Gamma(\theta)= \Gamma_1 (\theta) sin(\theta) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Gamma_1 (\theta)=Konstante \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta = [0,\pi] \end{eqnarray}$ Und nun wird die KoTraFo angewandt: $\begin{eqnarray} y=- \frac{b}{2} cos(\theta) \end{eqnarray}$ sodass ich $\begin{eqnarray} \Gamma (y) \end{eqnarray}$ erhalten möchte. Alles weitere steht dann wieder in meinem Text. Hoffe es ist klarer?
04.03.2014, 11:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Intervall $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ ist der Sinus nichtnegativ. Daher gilt: $\begin{eqnarray} \sin \vartheta = \sqrt{1 - \cos^2 \vartheta} \, , \ 0 \leq \vartheta \leq \pi \end{eqnarray}$ Im selben Intervall ist der Cosinus streng monoton fallend. Daher bildet die Funktion $\begin{eqnarray} \vartheta \mapsto y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = - \frac{b}{2} \cos \vartheta \, , \ 0 \leq \vartheta \leq \pi \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ bijektiv auf das Intervall $\begin{eqnarray} \left[ - \frac{b}{2} , \frac{b}{2} \right] \end{eqnarray}$ ab. Ich nehme dabei an, daß $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ eine positive Konstante ist. Und jetzt mußt du die letzte Gleichung nach $\begin{eqnarray} \cos \vartheta \end{eqnarray}$ auflösen und einsetzen: $\begin{eqnarray} \Gamma(\vartheta) = \Gamma_1 \cdot \sin \vartheta = \Gamma_1 \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \vartheta} = \Gamma_1 \cdot \sqrt{1 - \left( - \frac{2}{b} \cdot y \right)^2} = \Gamma_1 \cdot \frac{2}{b} \cdot \sqrt{\left( \frac{b}{2} \right)^2 - y^2} \end{eqnarray}$ Bei dir fehlt da auch noch eine Klammer um den quadrierten Bruch. Den letzten Ausdruck jetzt als $\begin{eqnarray} \Gamma(y) \end{eqnarray}$ zu bezeichnen, ist nicht umproblematisch, denn damit ändert $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ seine Bedeutung. Das ist die gefährliche Gleichsetzung von abhängiger Funktionsvariable und Funktionsbezeichner. Aber die Physiker können wohl nicht anders ...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »