Symmetrische Irrfahrt mit absorbierendem Rand

03.03.2014, 11:09	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Irrfahrt mit absorbierendem Rand Hallo zusammen Ich möchte folgende Aufgabe lösen: Peter und Paul spielen ein Spiel, bei dem Pepter jede Runde mit Wahrscheinlichkeit p gewinnt. Wer eine Runde gewinnt erhält vom anderen Spieler einen Euro. Es wird solange gespielt bis einer pleite ist. Beide Spieler zusammen haben b Euro. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit des Ruins von Peter, wenn dieser mit i Euro startet und bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit $\begin{eqnarray} \alpha _{i} \end{eqnarray}$ Dieses Spiel stellt eine Irrfahrt mit absorbierendem Rand dar. Es gilt folgendes: $\begin{eqnarray} \alpha _{i} =p\alpha _{i+1} +q\alpha _{i-1} \end{eqnarray}$ Randbedingungen: $\begin{eqnarray} \alpha _{0} =1, \alpha _{b} =0 \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären, wie man für $\begin{eqnarray} p=q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ auf die Lösung $\begin{eqnarray} \alpha _{i}=1-\frac{i}{b} \end{eqnarray}$ kommt? Viele Grüße Biene
03.03.2014, 13:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten mal nur $\begin{eqnarray} 0<p<1 \end{eqnarray}$ , d.h. ohne die trivialen Randfälle p=0 und p=1. Dann kann man $\begin{eqnarray} \alpha_{i}=p\alpha _{i+1}+q\alpha _{i-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=1-p \end{eqnarray}$ umstellen zu $\begin{eqnarray} \alpha _{i+1} - \frac{1}{p}\alpha_{i} + \frac{1-p}{p}\alpha _{i-1} = 0 \end{eqnarray}$ . Das ist eine homogene lineare Differenzengleichung (HLDG) zweiter Ordnung, deren Lösungstheorie bekannt ist: Man bestimmt zuerst die Lösungen der zugehörigen charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^2 - \frac{1}{p}\lambda + \frac{1-p}{p}\lambda = 0 \end{eqnarray}$ das sind $\begin{eqnarray} \lambda_1=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 = \frac{1}{p}-1 \end{eqnarray}$ . (A) Im Fall $\begin{eqnarray} \lambda_1\neq \lambda_2 \end{eqnarray}$ (das entspricht $\begin{eqnarray} p\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) wäre dann die allgemeine Lösung der HLDG $\begin{eqnarray} \alpha_i = C_1\lambda_1^i + C_2\lambda_2^i = C_1 + C_2\left(\frac{1}{p}-1\right)^i \end{eqnarray}$ . (B) Im Fall $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \lambda_2 \end{eqnarray}$ (das entspricht $\begin{eqnarray} p= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) ist dann allerdings hier die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} \alpha_i = (C_1+C_2i)\lambda_1^i = C_1+C_2i \end{eqnarray}$ . In beiden Fällen sind die Konstanten $\begin{eqnarray} C_1,C_2 \end{eqnarray}$ aus den Randbedingungen $\begin{eqnarray} \alpha_0=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_b = 0 \end{eqnarray}$ ermittelbar. P.S.: Ok, nur im Fall $\begin{eqnarray} p=q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ kann man auch einfacher argumentieren: $\begin{eqnarray} \alpha _{i} = \frac{1}{2}\alpha _{i+1} + \frac{1}{2}\alpha _{i-1} \end{eqnarray}$ kann man umstellen zu $\begin{eqnarray} 2\alpha _{i} = \alpha _{i+1} + \alpha _{i-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha _{i} - \alpha _{i-1} = \alpha _{i+1} - \alpha _{i} \end{eqnarray}$ , d.h. Differenzen direkt aufeinander folgender Glieder der Folge $\begin{eqnarray} (\alpha_i)_{i=0,1,\ldots,b} \end{eqnarray}$ sind konstant. Das ist das Kennzeichen einer arithmetischen Folge.
03.03.2014, 14:22	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dankeschön HLDGs sind mir schon mal begegnet, jetzt erinnere ich mich wieder Gruß Biene

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