Prüfen auf Kollinearität

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Rivago Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen auf Kollinearität
Hallo Wink

Gegeben sind die Punkte A (1; 1; 2), B (-1; 1,5; 1), C (-3; 2; 2) und D (3; 0,5; 3).

Prüfen Sie, ob die Punkte C und D auf der Verländerung von liegt.








So, da bekomme ich dann für r 2 mal den Wert 1/2 raus und einmal r ist ungleich 0. Somit liegt der Punkt C nicht auf der Verlängerung.

Mir ist aber nicht klar, wieso auf der linken Seite steht und auf der rechten Seite

Kann das auch andersrum sein?

Also das es dann so aussieht:

klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen auf Kollinearität
Angenommen A, B und C lägen auf einer Geraden, dann wäre der Vektor ein Vielfaches des Vektors . Dies besagt die Gleichung.
Umgekehrt gilt es natürlich genauso, da r alle reellen Werte annehmen kann.

Hier erhält man allerdings für die x- und y-Komponente r = 2 und für die z-Komponente r = 0, weshalb keine Kollinearität vorliegt.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das auf Punkt D angewandt würde bedeuten:







r = -1


Oder aber:



r=-1

Wie rum ist also völlig egal?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht: Formelumstellung liefert

Da hier , kommt zufällig umgekehrt dasselbe raus. Sonst aber im allgemeinen nicht.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm verwirrt So ganz hab ich es noch nicht verstanden.

Ok, also nochmal zu Punkt C, da dort was unterschiedliches raus kommt.







Für x und y erhält man für r=2, für z erhält man r=0.


Macht man es andersrum:



Für x und y erhält man r=1/2 und für z erhält man


Aber wie ist es denn jetzt richtig? verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Die Richtung ist hier unerheblich. Entscheidend ist, dass es ein r geben müßte, das die Gleichung in allen 3 Komponenten erfüllt. Das ist hier eben nicht der Fall, da die Vektoren nicht kollinear sind.

Im übrigen erhält man hier nicht , sondern in der 3. Komponente , und ein solches r gibt es nicht, insbesondere nicht 1/2, was für die 1. und 2. Komponente gilt.
 
 
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich meinte

Kollinear sind die Vektoren ja nur, wenn für r bei x, y und z das selbe Ergebnis raus kommt, oder?


Und wieso ist bei x und y r=1/2 nicht richtig? verwirrt

Mal für x:

-2 = -4r

Das nach r auflösen: r=1/2
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

r = 1/2 wäre dann richtig, wenn es für alle 3 Komponenten gelten würde. Da die 3. Komponente aber nicht für r = 1/2 erfüllt ist, sind die Vektoren eben nicht Vielfache voneinander, d. h. das r stimmt zwar für x und y überein, aber das genügt noch nicht für Kollinearität.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay smile

Also nur nochmal zu meinem Verständnis: Um die Kollinearität zu überprüfen ist es egal, ob ich zb die Koordinaten von AB auf die linke oder rechte Seite schreib? Wichtig ist eben nur, das für r 3 mal das selbe raus kommt, nur dann sind sie kollinear.


Oder nochmal anders geschrieben:

Bei Punkt C erhält man ja, je nachdem wie man es macht, für r folgendes: x und y sind 2 und z ist 0. Oder aber x und y sind 1/2 und für z: -1 ist ungleich 0.

Für r erhält man also unterschiedliche Ergebnisse. Das ist also nicht schlimm?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Schlimm ist das nicht. Es bedeutet eben, dass die Vektoren nicht kollinear/linear abhängig sind, also sozusagen zueinander "schief" liegen.

In diesem Fall sind sie dann komplanar, spannen also eine Ebene auf.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hab ich das jetzt verstanden smile

Aber 2 Fragen hab ich trotzdem noch.

Frage 1:

Bedeutet kollinear so viel wie parallel?

Wir haben uns etwas im Hefter notiert:

Bei Punkt D würde das ja aber nicht zutreffen, da r=-1.


Frage 2:

Wieso muss man erst die Koordinaten der Vektoren, zb und ausrechnen, damit man danach diese Koordinaten in die Formel einsetzen kann?
Wieso kann man nicht einfach die Koordinaten der Punkte, zb des Punkte A (1; 1; 2), benutzen?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Bedeutet kollinear so viel wie parallel?

Könnte man sich zwar bildlich so vorstellen, stimmt aber eigentlich nicht wirklich, denn Vektoren können ja beliebig verschoben werden (z. B. nebeneinander, aufeinander, hintereinander liegen) und bleiben immer derselbe Vektor.
Zitat:



Ich nehme an, das soll hier bedeuten, dass die beiden Vektoren für r > 0 gleichgerichtet sind, also die Spitze in dieselbe Richtung zeigt. Das ist etwas spezieller als kollinear. Kollinear sind Vektoren auch, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind.
Zitat:

Wieso kann man nicht einfach die Koordinaten der Punkte, zb des Punkte A (1; 1; 2), benutzen?

Die Koordinaten des Punktes sind ja Ortskoordinaten bezüglich des Ursprungs. Würde man die nehmen, würde man prüfen, ob ein dritter Punkt kollinear bezüglich des Vektors ist. Das ist aber i. d. R. eine ganz andere Richtung als .
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da sind erstmal alle Fragen geklärt. Danke Freude smile

Hab aber noch ein zweites Problem. Werde dazu einen neuen Thread eröffnen. Wenn du magst kannst du ja wieder helfen Augenzwinkern
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