Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen

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03.03.2014, 17:28	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen Gegeben sind die Punkte A (1; 1; 2), B (-1; 1,5; 1), C (-3; 2; 2) und D (3; 0,5; 3). Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Verlängerung von $\begin{eqnarray} \overline{AB} \end{eqnarray}$ mit den Koordinatenebenen. Leider war ich in der letzten Mathestunde nicht ganz auf der Höhe und bin nicht richtig durchgestiegen, wie das funktioniert. Für die x - y - Ebene hab ich hier folgendes stehen: x = 1 - 2r --> x = -3 y = 1 + 0,5r --> y = 2 0 = 2 - r --> r = 2 S (-3; 2; 0) Woher die 0 bei z kommt ist mir klar. Aber wie kommt man denn auf die Formeln? Wie es zu -3, 2 und r=2 kommt weiß ich dann wieder. Aber mir ist eben nicht klar, wie man auf die Formeln kommen soll.
03.03.2014, 17:46	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen Na gut, ich übernehms mal. Zunächst also der Schnittpunkt mit der x-y-Ebene. Wie lautet denn deren Ebenengleichung (am besten in Koordinatenform)?
03.03.2014, 17:48	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab leider keine Ahnung Edit: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ ??
03.03.2014, 17:59	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Du das Ganze für 3 Ebenen durchrechnen mußt, geb ich im ersten Fall mal etwas genauere Hinweise (ohne mich der Komplettlösung schuldig zu machen), dann kann Du die beiden anderen Fälle entsprechend lösen. Die x-y-Ebene ist die Menge aller Punkte mit der z-Koordinate 0. D. h. für z = 0 liegt jede beliebige Kombination von x und y in dieser Ebene. Also lautet die Ebenengleichung: $\begin{eqnarray} z = 0 \end{eqnarray}$ Verlängerung von $\begin{eqnarray} \overline{AB} \end{eqnarray}$ heißt nun, dass wir z. B. im Punkt A stehen und von dort aus entlang der Geraden durch A und B gehen, bis wir uns genau in der x-y-Ebene befinden. Die Gerade durch A und B wird beschrieben durch die Gleichung $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 0,5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bis hierher klar?
03.03.2014, 18:04	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich glaub so halbwegs hab ich das verstanden. Also mal meine Punkte: x - y - Ebene: S (-3; 2; 0) x - z - Ebene: S (3; 0; 4) y - z - Ebene: S (0; 1,25; 1,5) Stimmt das so? Und stimmt die Gleichung, die ich vorher geschrieben hab?
03.03.2014, 18:13	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so schnell. Habe auch bisher nur diesen Fall durchgerechnet und das Ergebnis S(-3 ; 2 ; 0) stimmt. Aber dahin kommen wir gleich. Was wir nun tun müssen, ist das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus obiger Geradengleichung so zu bestimmen, dass die z-Koordinate der Geraden 0 wird. Da führt auf die von Dir bereits angegebene Gleichung $\begin{eqnarray} 2-\lambda = 0\Rightarrow \lambda = 2 \end{eqnarray}$ Das wiederum eingesetzt in die Geradengleichung liefert dann den Schnittpunkt der Geraden mit der x-y-Ebene. Dieselbe Methode kannst Du nun mit den beiden anderen Ebenen wiederholen.
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03.03.2014, 18:23	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie bereits geschrieben habe ich folgendes raus: x - z - Ebene: x = 1 - 2r 0 = 1 + 0,5r z = 2 - r S (3; 0; 4) y- z - Ebene: 0 = 1 - 2r y = 1 + 0,5r z = 2 - r S (0; 1,25; 1,5)
03.03.2014, 18:24	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ergebnisse sind richtig.
03.03.2014, 18:27	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für deine Hilfe

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