Fluss durch Kegeloberfläche

03.03.2014, 23:49	Luuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss durch Kegeloberfläche Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe, in der ich den Fluss durch eine Kegeloberfläche berechnen soll. Die Oberfläche des Kegels habe ich bereits mit der Parametrisierung $\begin{eqnarray} s(r,\phi) = \begin{pmatrix} rcos\phi \\ rsin\phi \\ rh/R \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , R ist der Radius oben, h die Höhe, berechnet; es kommt raus $\begin{eqnarray} \pi R\sqrt{h^{2}+R^{2}} \end{eqnarray}$ , das Flächenelement ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -rh/R cos\phi \\ -rh/R sin\phi \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Soweit, so gut. Jetzt soll der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} A(r) = ar^{n}\begin{pmatrix} cos\phi \\ sin\phi \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch die Kegeloberfläche berechnet werden, mit a=const und n= -1,0,1... Meine Ideen: Ich weiß, dass der Fluss durch eine Oberfläche gleich $\begin{eqnarray} \int \! dF A \, \end{eqnarray}$ ist. Aber ich verstehe die Darstellung des Vektorfeldes nicht; als Beispiele hatten wir sonst immer Felder wie "A(r) = (y,z,2x)" oder so, wo man dann halt, salopp gesagt, die Komponenten der Parametrisierung einfach eingesetzt hat, um das Vektorfeld am Ort der Oberfläche zu erhalten, und dann das Skalarsprodukt integriert hat. Aber das kann ich ja mit meinem Feld nun nicht machen. Soll ich einfach das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} rcos\phi \\ rsin\phi \\ rh/R \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ar^{n}\begin{pmatrix} cos\phi \\ sin\phi \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen und dann integrieren? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich vorher noch irgendwas irgendwo einsetzen muss, aber ich weiß nicht, was :/. Muss ich in A für r den Betrag der Parametrisierung einsetzen? Und mir ist auch nicht so recht anschaulich klar, weshalb im Vektorfeld auf einmal Winkel auftauchen ... Ich kann mir das im Allgemeinen alles noch nicht so wirklich bildlich vorstellen. Zweiten Beitrag hier eingefügt und gelöscht. Steffen Unten beim Skalarprodukt meine ich natürlich das Fkächenelement mal A(r), nicht s*A.
04.03.2014, 10:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das Flächenelement richtig berechnet. Man muss nur noch das Integral ausrechnen $\begin{eqnarray} \Phi=\int \vec A\,\,d\vec F= \int_{r=0}^{R}\int_{\phi=0}^{2\pi}\underbrace{\underbrace{ar^n \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{Vektorfeld}}\,\,\underbrace{\begin{pmatrix} -\tfrac{rh}{R}\cos(\phi) \\ -\tfrac{rh}{R}\sin(\phi) \\ r \end{pmatrix} d\phi dr}_{\text{Flächenelement}}}_{\text{Skalarprodukt}} =\tfrac{ah}{R}\cdot \int_{r=0}^{R}\int_{\phi=0}^{2\pi} r^{n+1}\,\,d\phi dr=\tfrac{2\pi ah}{R}\cdot \int_{r=0}^{R}r^{n+1}\,\,dr \end{eqnarray}$
04.03.2014, 11:14	Luuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank für die Antwort!
04.03.2014, 11:48	Luuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, eine weitere Frage hätte ich dann doch noch: Wenn ich den "Deckel" des Kegels jetzt mit in die Berechnung des Flusses einbeziehe, wie muss ich das dann rechnen? Ich hätte jetzt $\begin{eqnarray} dF = \pi r^{2}dr; d\vec{F} = dF\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \pi r^{2}dr \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das heißt, für den Fluss durch die Kreisfläche kommt am Ende null raus, was auch Sinn ergeben würde, da die z-Komponente von A ja null ist. Wäre das so richtig gedacht?
04.03.2014, 11:50	Luuna	Auf diesen Beitrag antworten »
... 2pir meine ich, nicht pir^2 ...
04.03.2014, 12:24	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die z-Komponente des Vektorfeldes verschwindet, zeigt das Vektorfeld (=Stromdichte) in xy-Richtung. Der Deckel des Kegels liegt ebenfalls parallel zur xy-Richtung. Folglich fließt durch den Deckel nichts "hindurch", sondern an ihm "vorbei" (als wenn man ein rundes Blech parallel zur Fließrichtung in einen Fluss legt). Demnach verschwindet der Fluss durch den Deckel.
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