Verschiebung des Arguments für Anwendung der Umkehrfkt.

04.03.2014, 15:57

Majooo

Verschiebung des Arguments für Anwendung der Umkehrfkt.

Meine Aufgabe lautet: Definitionsbereich sowie Lösung zum Anfangswert zu dieser DGL: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{\sqrt{y} }{\cos(\sqrt{y}) } \end{eqnarray*}$

Anfangswert: $\begin{eqnarray*} y(-2)=9\pi ² \end{eqnarray*}$

Ich bin hier angekommen:

$\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{y} ) =\frac{t}{2} + c \end{eqnarray*}$

Mein nächster Schritt wäre jetzt, den arcsin auf beiden Seiten anzuwenden. Ich tue mich jedoch schwer damit, mein Argument zu verschieben.
In der Musterlösung der Klausur steht, dass durch die Anfangsbedingung y(-2)=9pi²
gilt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi }{2} < \sqrt{y} < \frac{7\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Anschließend heißt es dann $\begin{eqnarray*} -\sin(\sqrt{y}-3\pi )= -\frac{1}{2} t-c \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}-3\pi \end{eqnarray*}$ ?

04.03.2014, 17:13

Majooo

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Also die Frage ist eher wie man aus dem Anfangswert an das Intervall für y kommt. Die 3pi sind dann klar.

04.03.2014, 20:34

Leopold

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Du kannst in $\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y} \right) = \frac{t}{2} + c \end{eqnarray*}$ schon einmal $\begin{eqnarray*} t=-2 \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhältst damit für die Konstante $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y} \right) = \frac{t}{2} + 1 \end{eqnarray*}$

Man kann hier Weiteres ablesen. Da der Sinus nur Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat, muß $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-4,0] \end{eqnarray*}$ liegen.
Und jetzt mußt du dir überlegen, in welchem Intervall, in dem der Sinus umkehrbar ist, $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ liegt. Wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{y(-2)} = 3 \pi \end{eqnarray*}$ ist das größtmögliche Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{5}{2} \pi , \frac{7}{2} \pi \right] \end{eqnarray*}$ . Schau dir den Graphen der Sinusfunktion daraufhin an. Er fällt streng monoton.

In der Musterlösung wird jetzt trickreich die Formel $\begin{eqnarray*} \sin(x-3\pi) = - \sin(x) \end{eqnarray*}$ verwendet. Sie gilt für jedes reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Deswegen kann man umformen:

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y} - 3 \pi \right) = - \left( \frac{t}{2} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

Statt $\begin{eqnarray*} 3 \pi \end{eqnarray*}$ könntest du genausogut $\begin{eqnarray*} 5 \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2013 \pi \end{eqnarray*}$ nehmen. Auch dann wäre das richtig. Warum aber nun gerade $\begin{eqnarray*} 3 \pi \end{eqnarray*}$ ? Weil jetzt $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} - 3 \pi \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ liegt, in dem der gewöhnliche Arcussinus den Sinus umkehrt.

05.03.2014, 02:07

Majooo

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Zitat:

Original von Leopold
Du kannst in $\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y} \right) = \frac{t}{2} + c \end{eqnarray*}$ schon einmal $\begin{eqnarray*} t=-2 \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhältst damit für die Konstante $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$

Okay, ich glaube genau hier ist auch der Punkt, den ich nicht verstehe.

Du wendest zwar das Argument der Anfangsbedingung ein mit t=-2, aber nicht das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} 9\pi ² \end{eqnarray*}$ .
c=1 würde ich doch nur rausbekommen, wenn ich t/2+c=0 setze.

Da hab ich nämlich eben auch die ganze Zeit gehangen. Um die Anfangsbedingung an y einzusetzen, müsste man doch eigentlich erst nach y auflösen. Dafür brauche ich aber den arcsin, den ich aber hier nicht korrekt anwenden kann, ohne ihn zu verschieben.

Hoffe du verstehst, was mein Problem ist.
Also erklär mir nur mal bitte wie genau der Anfangswert benutzt wird Freude

Danke für deine Hilfe!

05.03.2014, 08:44

Leopold

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Nun, es ist ja $\begin{eqnarray*} y=y(t) \end{eqnarray*}$ , also ausführlich

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y(t)} \right) = \frac{t}{2} + c \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur $\begin{eqnarray*} t=-2 \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{y(-2)} \right) = \frac{-2}{2} + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \left( \sqrt{9 \pi^2} \right) = -1 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \left( 3 \pi \right) = -1 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -1 + c \end{eqnarray*}$

05.03.2014, 16:40

Majooo

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Super, danke für deine Mühe! Habs verstanden!

Das c=1 darf ich aber doch nur für die Lösung vom Anfangswert einsetzen, oder?

Bei der allgemeinen Lösung bleibt einfach "c" stehen, richtig?

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